第六章 6.2 6.2.4　第2课时　向量数量积的运算律及应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　向量数量积的运算律及应用 [学习目标]　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．　2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 知识点　向量数量积的运算律 请回答以下问题： 1．向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？ 提示：不相同；数量积得到的结果是实数；而数乘运算得到的结果是向量． 2．类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 提示：满足交换律和分配律． 1．对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2．多项式乘法与向量数量积的相同点 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b) ·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a [微提醒]　(1)a·b＝b·c推不出a＝c. (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量． (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　　 ) A. a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 ACD　[根据数量积的分配律知A正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形，所以|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；显然D正确．故正确结论的选项是ACD．] 学生用书↓第15页 方法技巧 向量的数量积a·b与实数a，b的乘积ab有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律．　　 即时练1.给出下列结论： ①若a·b＝a·c，则b＝c； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2. 其中正确的是________．(填序号) 解析：由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确． 答案：② 应用一　利用数量积求向量的模和向量的夹角 已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． 解析：法一：|a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝ ＝2. 法二：(数形结合法) 由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||. 又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2. 答案：2 已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. (1)求|b|； (2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． 解析：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝， 所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝. (2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1. 又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝， 所以cos θ＝＝， 又θ∈[0，π]，故θ＝. 　方法技巧 1．求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方． 2．求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解．　 即时练2.已知＝2，＝1，·＝3. (1)求的值； (2)求a与a－2b的夹角． 解析：(1)由·＝3，得a2－2a·b－3b2＝3，因为＝2，＝1， 所以4－2a·b－3＝3，所以a·b＝－1，所以＝ ＝ ＝ . (2)设a与a－2b的夹角为θ，因为a·(a－2b)＝a2－2a·b＝4＋2＝6， ＝ ＝＝2， 所以cos θ＝＝＝，因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 应用二　与垂直有关的问题 已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B．－4 C. D．－ B　[由题意知，＝＝，所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(t m＋n)