计数原理与概率统计——随机变量及其分布 学案-2024届高三数学一轮复习

计数原理与概率统计 随机变量及其分布 学案 思维导图 夯实基础 【核心知识整合】 考点1：离散型随机变量及其分布列 1.离散型随机变量的分布列 （1）如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. （2）一般地，若离散型随机变量X的可能取得不同值为取每一个值的概率，则下表称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列. X … … P … … 2.离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1），； （2）； （3）. 3.常见的离散型随机变量的概率分布模型 （1）两点分布：若随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1-p p 则称X服从两点分布. （2）超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中任取n件，其中恰有X件次品，则，其中，且，，，则称分布列 X 0 1 … m p … 为超几何分布. 考点2：离散型随机变量的均值与方差 1.离散型随机变量的均值 （1）一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X … P … 则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. （2）两点分布的均值：. （3）均值的性质：；；. 2.离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差与标准差： 称为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为. （2）方差的性质：；；. 考点3：事件的相互独立性 1.相互独立事件的定义 对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立. 2.相互独立事件的性质 当事件A与事件B相互独立时，则事件A与相互独立，事件与B相互独立，事件与相互独立. 考点4：条件概率 1.条件概率 一般地，设，为两个随机事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率. 2.条件概率与事件相互独立性的关系 当时，当且仅当事件与相互独立时，有. 3.概率的乘法公式 对任意两个事件与，若，则.上式称为概率的乘法公式. 4.概率的性质 设，则 （1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则. 5.全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有. 考点5：二项分布 1.二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作. 2.二项分布的均值与方差. 如果，那么，. 考点6：正态分布 1.正态分布 ，，为参数)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布. 2.正态分布的均值与方差 若，则. 3.原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则. 探究提升 [典型例题] 1.已知随机变量X服从二项分布，则等于( ) A. B. C. D. [答案]D [解析].故选D. 2.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别是，，则密码被破译的概率为( ) A. B. C. D. [答案]D [解析]因为甲、乙两人独立地破译一份密码，且甲、乙能破译的摡率分别是，，所以密码被破译的概率为，故选D. 3.若随机变量，且，则等于_________. [答案]0.6 [解析]，， . 4.某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序，经智能检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检验；已知某批芯片智能自动检测显示合格率为90%，最终的检测结果的次品率为，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率为_________. [答案] [解析]设该芯片智能自动监测合格为事件A，人工监测一枚芯片恰好合格为事件B，，，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率. [变式训练] 1.盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为( ) A. B. C. D. [答案]B [解析]设事件A为“甲取出的有红球”，事件B为“取出两个红球”，则，，由条件概率公式能求出甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为，故选B. 2.设随机变量，则( ) A.10 B.30 C.15 D.5 [答案]A [解析]由随机变量满足二项分布， 所以，