数列求和8种题型 讲义-2024届高三数学一轮复习

数列求和 1、等差数列的前项和公式： 公式一：。公式二：。 2、等比数列的前项和公式： 。 3、常用几个数列的求和公式： 。 。 。 4、分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。 如果通项公式是几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。 5、裂项相消法求和： 如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，这是分解与组合思想在数列中的具体体现。 的表达式能够拆成形如的形式（，，…），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的的方法。常见的方法有： （1）等差型裂项： ①。 ②。 ③。 ④。 ⑤。 ⑥。 ⑦。 ⑧。 ⑨。 ⑩。 （2）根式型裂项： ①。 ②。 ③。 ④。 （3）指数型裂项： ①。 ②。 ③。 ④。 （4）对数型裂项： 6、错位相减法求和： 通项公式特点：等差×等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法。 这种方法主要用于求的前项和，其中，分别是等差数列和公比不为1的等比数列， 那么与两式错位想减就可以求出。 7、倒序相加法： 这是推导等差数列前项和公式时所用方法，就是将一个数列倒过来排序，再把它与原数列相加，就可以得到个。如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解。 8、并项求和法： 一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。 【题型1】分组求和法 【例1】求数列的前n项和． 【解答】解：令数列前n项的和为Sn， 则Sn（1+2+…+n）+（） ； 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且4an＝3Sn+2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝an+log2an，求数列{bn}的前n项和Tn． 2．在数列{an}中，a1＝﹣1，． （1）求证：数列{an+3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝an+n，求数列{bn}的前n项和Tn． 3．在公差为2的等差数列{an}中，a1+1，a2+2，a3+4成等比数列． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{an﹣2n}的前n项和Sn． 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，2Sn+1＝Sn+2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＝an，求数列{bn}的前n项和Tn． 5．已知数列{an}，Sn是其前n项的和，且满足3an＝2Sn+n（n∈N*）． （Ⅰ）求证：数列{an}为等比数列； （Ⅱ）记Tn＝S1+S2+…+Sn，求Tn的表达式． 【题型2】裂项相消法求和 【例1】求的值． 【解答】解：1． 【例2】裂项相消法：求数列，，…，，…的前n项和． 【解答】解：设an （裂项） 则 Sn ＝（）+（）+…+（） （裂项求和） 1．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列． （1）求{an}的通项公式； （2）证明：2． 2．已知正项数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足an． （1）求数列{an}的通项公式； （2）记数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2﹣a恒成立，求实数a的取值范围． 3．已知正项数列{an}，{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15． （Ⅰ）求证：数列是等差数列； （Ⅱ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 4．已知等差数列{an}满足a2＝4，2a4﹣a5＝7，公比不为﹣1的等比数列{bn}满足b3＝4，b4+b5＝8（b1+b2）． （1）求{an}与{bn}通项公式； （2）设，求{cn}的前n项和Sn． 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和Tn． 【题型3】错位相减法求和