上海市曹杨中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

曹杨中学2023学年第一学期高二年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1.空间中两条直线没有公共点，则这两条直线的位置关系是 2.用斜二测画法画水平放置的正方形ABCD的直观图为平行四边形AB'C'D',取AB所在 直线为x轴，AD所在直线为y轴.若在直观图中AB=2cm,则BC=cm. 3.己知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 4.已知球O的表面积为36π，则该球的体积为 5.若a、6的夹角为牙，同==l,则ā(a-6)= 6.已知长方体ABCD-ABC,D,的棱AD=AA=1,AB=2,则异面直线BD与BC,所 成角的余弦值为 7.己知一个球的半径为2，若用一个与球心距离为1的平面截球体，则所得的截面面积为 8.在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥平面ABCD,底面四边形ABCD是正方形，BC=I, 直线PB与平面PCD所成角的正切值是二，则PD= 9.定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离.若某锐二面角内一点到二面 角的两个半平面的距离分别为1和√2，到二面角的棱的距离为2，则此二面角的大小为 10.我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理：“幂势既同，则积 不容异.”这里的“幂指水平截面的面积，“势”指高.如图(1)是一种“蒙古包的简易视图， 其中底面ABCD是个正方形，曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆，平面AOC和平面 BOD均垂直于底面.想要计算该蒙古包的体积V就可以利用祖暅原理，构造一个与蒙古包 同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图(2）)，从而求得 V= D B 图1 图2 第10题 11.如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里， B是母线SA上一点，且AB=10公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周 到B的观光铁路.这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则改为下坡段铁路的长度为 公里. 第11题 第12题 12.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=AB=2,BC=4.将 折线DABC绕着CD所在直线旋转一周形成的旋转面的面积是 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13.给定空间中的直线1与平面，则“直线1与平面垂直”是“直线1垂直于平面内无 数条直线”的()条件 A.必要不充分B.充分不必要 C.充要 D.即不充分也不必要 14.已知空间中，1、m、n是互不相同直线，、B是不重合的平面，则下列命题为真命题 的是() A.若a∥B,Ica,1cB,则1Iln B.若a⊥B,1c,则1⊥B C.若1⊥n,m⊥n,则l/m D.若I⊥，IIWB,则a⊥F 15.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点P是线段AC上的动 点，下列与BP始终异面的是() D A.DD B.AC C.AD D.BC 16.己知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点E,将ABD沿BD折起，使顶 点A至点M,在折起的过程中，对于下面两个命题：①存在一个位置，使△CDM为等边 三角形：②DM与BC不可能垂直，成立的是() A.①为假命题，②为真命题 M B.①为真命题，②为假命题 C.①②均为真命题 D.①②均为假命题 B 三、解答题（共5道大题，其中17题14分，18题14分，19题14分，20题16分，21题18分，共计 76分) 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，己知圆锥的底面半径r=2,经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB,点Q为半圆 弧AB的中点，点P为母线SA的中点. (1)求此圆锥的表面积和体积： (2)求异面直线PQ与SO所成角的大小. 18.(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体PABC 中，PA⊥平面ABC,AC=BC,D是棱AB的中点. (1)判断四面体PACD是否为鳖臑，并说明理由： (2)若四面体PABC是鳖臑，且AP=AB=2,求直线AC与平面PAB所成的角的大小. 19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为 圆柱形，左右两端均为半球形，1=2r+1(1为圆柱的高，r为球的半径，1≥2).假设该 储油罐的建造费用仅与其表面有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部 分每平方米建造费用为3千克.设该储油罐的建造费用为y千元， (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的