上海市南洋模范中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

南模中学2023学年第一学期高二年级数学期中 2023.11 一、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.己知空间中两条直线a,b,“a⊥b”是“a与b相交的 条件.（选填“充分非必要”， “必要非充分”，“既非充分又非必要”，“充要”) 2.已知a=(0,1,m）,b=(0,n,-3)分别是平面a,B的法向量，且aWB,则mn= 4 3.若圆锥高为3，且母线与底面所成角为arccos二，则该圆锥的侧面积为 4.已知ā，万均为空间单位向量，且它们的夹角为60°，则a+26 5.如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB-8,∠BAC=30°，圆锥的母线与 底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为 D D : B (第5题图) (第6题图) (第7题图) 6.某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个 球被一个棱长为6√3的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合）， 若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的表面积是 7.现有甲乙两个形状完全相同的四棱台容器如上图所示，已知AB-6,A1B1=2,现按一定的 速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时7分钟，如果按照相同的 速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时 分钟. 8.已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，点E、F、G分别为棱AB、A4、CD的中 点，则下列结论中 3V5 (1)过E、F、G三点作正方体的截面，所得截面面积为 4 (2)B1C与平面B1D1DB所成的角为：60° (3)异面直线EF与BD,所成角的正切值为 2 (4)四面体A-CBD,的体积等于二；其中正确的结论 D A (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.用一个平面将圆柱切割成如下图的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱 侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为y=1.5+V2cosx,x∈[-π，π]， 则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是 10.如上图，棱长为1的正方体AA,AA4-AAA,A的八个顶点分别为A1,A2,,A8 记正方体12条棱的中点分别为A9,A10,.,A20,6个面的中心为A21,A22,…,A26,正方 体的中心为A7.记m,=AA,·A1A,j∈{1,2，…，27}，其中A47是正方体的体对角线.则 m+m2+…+m27= 11.水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切.若用一个半 球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是 12.空间内存在三点A、B、C,满足AB=AC=BC=1,在空间内取不同两点（不计顺序），使 得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13.如下图所示，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，M为AC1 D 与B1D1的交点，若AB=a,AD=b,AA=c,则BM=( A. -0- 二b+c B. a+6+c C. -b+c D. -b+c 2 14.有一个沙漏如上图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称， 沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的圆柱部分，已知沙漏总高 度为10cm,圆柱部分高度为2cm,则初始状态的沙子高度h为( A.3cm B.3.5cm C.4cm D.4.5cm 15.己知两个不同平面，B和三条不重合的直线a,b,c,则下列命题： (1)若a∩B=b,al/b,则a/∥a且a∥B. (2)若平面内有不在同一直线的三点A、B、C到平面B的距离都相等，则a/∥B: (3)若a,B分别经过两异面直线a,b,且∩B=c,则c必与a或b相交 (4)若a,b,c是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与a,b,c都相交其中正确的 命题是( A.(1)(3) B.(2)(4) C.(1)(2)(4) D.(3)(4) 16.如图，设P为正四面体A-BCD表面（含棱）上与顶点不重合的 一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M,如果集合M中有且 只有2个元素，那么符合条件的点P有（). A.4个 B.6个 C.10个 D.14个 三、解答题（共5道大题，其中17题14分，18题14分，19题14分，20题16分，21题18分， 共计76分) 17.（本题满分14分.本题共2小题，第(1)小题7分，第(2)小题7分.) 已知空间中三点A(2,0,-2)、B(1,-1,-2)、C(3,0,-4),设ā=AB,b=AC. (1)若=3，且c/BC,求向量c: (2)求以ā、b为一组邻边的平行四边形的面积S. 18.(本题满分14分.本题共2小题，第(1)小题