上海市上海中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

上海中学2023学年第一学期高二年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1~6题每题3分，第7-12题每题4分） 1.向量a=(1,0,1),b=（x,1,2)且a·b=3,则x= 2.已知两条相交直线a,b,且a∥平面a,则b与a的位置关系是 3.将一个圆心角为3 π ，面积为3π的扇形卷成一个圆锥，那么该圆锥的体积为 4.如图，我们将一本书打开放置在桌面上（每页书都有一边恰好落在桌面上）.根据我们所 学的 定理，我们可以证明书脊所在的直线AB垂直于桌面. 5.已知四棱锥P-ABCD的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边 长为1的正方形，则该四棱锥的体积为 6.正方体ABCD-ABCD的棱长为1，点E是棱CC的中点，则点E到平面A,BD的距 离是 7.正三棱柱ABC-A'B'C'中，AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的 正弦值为 8.下列说法正确的是 ①一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量. ②如果直线AB与CD是异面直线，那么向量AB与CD不共面 ③两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段. ④直三棱柱任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积. 9.设AB和CD都是平面的垂线，其垂足分别为B,D.已知AB=5,CD=9,BD=3, 那么线段AC= 10.设O,O2分别是圆柱P的上、下底面兀1，兀2的中心.Q,是以O为顶点，兀，-，为底面 的圆锥体(i=1,2),若圆柱P的体积为1，那么圆锥Q,Q2的公共部分的体积为 11.正四棱柱ABCD-AB,CD中，已知AB=2,AA,=1,那么以A为球心，半径为2 的球面与该四棱柱表面交线的总长度为 12.已知空间四个单位向量e,g,e,e,满足：，+=+e,=2,+已2++e=1, 则e·e,的最大值为 二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每小题4分） 13.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.己知该 水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时，相应水 面的面积为180.0k,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海 拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为().（保留两位有效数字） A.1.0×10°m3B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×10°m3 14.己知平面a,B,Y两两垂直，直线a,b,c满足：aca,bcB,ccy,则直 线a,b,c的位置关系不可能是( A.两两垂直 B.两两平行 C.两两相交 D.两两异面 15.已知二面角-1-B的大小为60°，点P,Q分别在，B上且PQ⊥1，若点P到B 的距离为√3，点Q到心的距离为 2， 则PQ两点之间的距离为(). A.5 B.1 C.2 D. 2 16.如图，已知正三棱柱ABC-AB,C中AC=AA,E,F分别是棱BC,AC上的点.记 EF与AA所成的角为C,EF与平面ABC所成的角为B,二面角F-BC-A的平面角 为y,则(). A.a≤B≤Y B.B≤≤Y B c.B≤y≤ D.a≤y≤B 三、解答题（本大题共有4题，满分42分） E B 17.(本题满分10分) 如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=Q,E是棱PC的中点： (1)求证：PA∥平面EDB; (2)求三棱锥E-BDC的体积. 8 18.(本题满分10分) 如图，在四面体ABCD中，AB=3,AC=AD=2,∠BAD=∠C4D=2元，∠BAC= 3 2 点M,N分别在棱AB,BC上，且AM=BM,CN=2BN. D (1)请用AB,AC,AD表示AN,DM: (2)求异面直线AN,DM所成角的余弦值. 2M. B N 19.(本题满分10分) 如图，在底面为正三角形的三棱柱ABC-AB,C中，平面ABC⊥平面BCC,B,, ∠CBB=60°，A4=2AB=4. (1)证明：BC⊥AC,: B (2)求二面角C-AB-A的余弦值. C 20.(本题满分12分) 在长方体ABCD-ABCD中 (1)如图一，点P,Q分别在棱AB,CC上，请在图一中作出过点D,P,Q的平面与 长方体的截面，保留作图痕迹，不必说明理由. (2)如图二，已知AB=13,AD=5,AA=12,过点A且与CD平行的平面C将长方 体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化过程中，求 这两个球的半径之和的最大值. D C D B D ID 图1 图2