精品解析：上海市杨浦高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

杨浦中学2023学年第一学期高一年级数学期中 2023.11 一、填空题（3'×10=30'） 1. 若指数函数图像经过点，则指数函数的解析式为___． 2. 满足的集合有_____________个. 3. 关于x的不等式的解集为，则b的值为___． 4. 已知，为正数，化简_______． 5. 已知，，用表示为__． 6. 不等式的解集是__________. 7. 若，则满足的x的取值范围是___． 8. 已知函数，若当时，能取到最小值，则实数的取值范围是___． 9. 对于使恒成立的所有常数中，我们把的最小值1叫的上确界，若且，则的上确界为___________. 10. 用表示非空集合中元素个数，定义若，且，设实数的所有可能取值构成集合，则_______. 二、选择题（3'×4=12'） 11. 若实数、、满足,则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 12. “存在，使得满足性质”的否定形式为（ ） A. 存在，使得不满足性质 B. 存在，使得满足性质 C. 对任意，都有不满足性质 D. 对任意，都有不满足性质 13. 在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 14. 已知，则下列命题中正确的个数为（ ） （1）若，则；（2）若，则； （3）若，则；（4）若，则. A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 三、简答题 15. 已知集合，集合． （1）求集合A； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）若对一切恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式：. 17. 若实数、、满足，则称比接近， （1）比接近，求的取值范围； （2）判断：“比接近”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明. 18. 设函数 （1）在上图平面直角坐标系中画出函数的图像； （2）试说明函数关于轴对称； （3）解不等式 19. 某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积y（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 625 156.25 为描述该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型供选择：；；. （1）试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式； （2）约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘? （3）经过4个月的研究掌握该生物生长规律后，科研小组需改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该生物生长的某种化学物质，使其覆盖面积y与经过的月数的关系变为； 方案二：4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，生物增长速度不变. 问如何评价这两种方案，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杨浦中学2023学年第一学期高一年级数学期中 2023.11 一、填空题（3'×10=30'） 1. 若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___． 【答案】 【解析】 【分析】设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1）,代入计算即可得解. 【详解】解：设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1）， ∴， 解得， ∴. 故答案为：. 2. 满足的集合有_____________个. 【答案】7 【解析】 【分析】根据给定条件，求出集合的非空子集个数即得答案. 【详解】因为，则集合可以是集合与集合的非空子集的并集， 而集合的非空子集的个数为， 所以集合有7个. 故答案为：7 3. 关于x的不等式的解集为，则b的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得方程的两个根为﹣2和3，由根与系数的关系可得关于a、b的方程，再求出a，b的值． 【详解】根据不等式的解集为， 可得方程的两个根为﹣2和3，且， 则，解得 故答案为：． 4. 已知，为正数，化简_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算公式即可求出结果. 【详解】原式． 故答案为：． 5. 已知，，用表示为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解. 【详解】因为，， 所以， ； 所以． 故答案为: . 6. 不等式的解集是__________. 【答案】，， 【解析】 【分析】令，解得：，即，解出的范围即可． 【详解】令，将原不等式化为， 将不等式化简， 得， ，得到， ，可得， 即，解之得或， 得原不等式的解集为，，， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查一元二次不等式的解法，是一道基础题． 7. 若，则满足的x的取值范围是___