广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024学年高三上学期摸底考试数学试题

汕头市潮阳实验学校2024届高三第一学期摸底考试试题 数 学 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.集合,集合,则( ) A. B. C. D. 2.若复数,则复数的虚部为( ) A. B. C. D. 3.使不等式成立的一个充分不必要条件是( ) A. B.或 C. D. 4.已知平面向量,的夹角为,且,,则在方向上的投影向量为( ) A. B. C. D. 5.已知公比为2的等比数列的前n项和为,且,,成等差数列,则( ) A.64 B.63 C.126 D.128 6.已知圆C的方程为,直线,点P是直线l上的一动点,过P做圆C的两条切线,切点分别为A,B,当四边形PAOB的面积最小时,直线AB的方程为( ) A. B. C. D. 7.已知三棱锥底面ABC是边长为2的等边三角形,顶点S与AB边中点D的连线SD垂直于底面ABC,且,则三棱锥S-ABC外接球的表面积为( ) A. B. C.12 D.8 8.设函数在上存在导函数,对于任意的实数,都有,当时,,若,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.如果,那么下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 10.已知函数,则( ) A.是偶函数 B.在区间上单调递增 C.在上有4个零点 D.的值域是 11.已知P是椭圆上的一动点,离心率为e,椭圆与x轴的交点分别为A、B,左、右焦点分别为,,下列关于椭圆的四个结论中正确的是( ) A.若PA、PB的斜率存在且分别为,,则 B.若椭圆C上存在点M使, C.若的面积最大时,,则 D.根据光学现象知道:从发出的光线经过椭圆一次反射后恰好经过.若一束光线从发出经椭圆反射,当光线第n次到达时,光线通过的总路程为 12.如图,已知正方体棱长为2,点M为的中点,点P为底面上的动点,则( ) A.满足平面的点P的轨迹长度为 B.满足的点P的轨迹长度为 C.存在点P满足 D.以点B为球心,为半径的球面与面的交线长为 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.设,则 . 14.已知是上的减函数,那么的取值范围是 . 15. “回文”是古今中外都有的一种修辞手法,如“我为人人,人人为我”等.数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”.“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如111,241142等,在所有五位正整数中,有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有 个.(用数字作答) 16.如图,已知直线,A是直线,之间的一定点,并且点A到,的距离分别为,,B,C分别为直线,上的动点,且满足,则面积的最小值为(结果用h1,h2表示) . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图,是直角斜边上一点,. (1)若,求角的大小; (2)若,且,求的长. 18.已知数列的首项,前项和满足. (1)求通项公式; (2)设,求数列的前项为. 19.抽屉中装有5双规格相同的筷子,其中2双是一次性筷子,3双是非一次性筷子,每次使用筷子时,从抽屉中随机取出1双,若取出的是一次性筷子,则使用后直接丢弃,若取出的是非一次性筷子,则使用后经过清洗再次放入抽屉中,求: (1)取了3次后,取出的一次性筷子的个数(双)的分布列及数学期望; (2)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下,第1次取出的是一次性筷子的概率. 20.如图,圆柱的轴截面为正方形,点在底面圆周上,且为上的一点,且为线段上一动点(不与重合) (1)若,设平面面,求证:; (2)当平面与平面夹角为,试确定点的位置. 21.如图,椭圆:的左右焦点分别为,离心率为,过抛物线:焦点的直线交抛物线于两点,当时,点在轴上的射影为,连接并延长分别交于两点,连接,与的面积分别记为,,设 . (1)求椭圆和抛物线的方程; (2)求的取值范围. 22.已知函数,且在处切线垂直于y轴. (1)求m的值; (2)求函数在上的最小值; (3)若恒成立,求满足条件的整数a的最大值. (参考数据,)