解三角形大题讲义-2024届高考数学一轮复习

课题：解三角形大题 知识点： 解三角形大题的基本规律 1．三角形面积，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下： ①S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B＝ ②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径) 【注1】选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到 2．解三角形求最值，主要是两个思路：（1）利用余弦定理，借助均值不等式来求。 （2）利用正弦定理，边角互化来求。化角时，要注意角的取值范围限制 3．利用均值求周长的范围时，注意利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形） 4．“非对称”型，多用正弦定理来“边化角”，最后消角时要注意消去的角与剩下的角对应的取值范围。特别是题中有“锐角或者钝角三角形”这类限制条件时。 5．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种： （1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）； （2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化； 6．求三角形外接圆半径. （1）构造正余弦定理，特别是余弦定理。 （2）要主语三角形中条件，判定是锐角还是钝角。 7．利用正余弦定理判断： （1）边化角或者角化边，转化为边的勾股或者相等，或者求角度相等（互余） （2）注意条件合理的分析转化 （3）角与对边型：正弦定理 （4）对称边，可以余弦定理+均值不等式 典型例题 例1在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=． （1）求的值； （2）若的面积为3，求的值． 例2已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若点为边的中点，，求面积的最大值． 例3在的内角所对的边分别为，且. （1）若，求的值； （2）若的面积，求的值. 例4在中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求． 例5 ∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。 （Ⅰ）求 （Ⅱ） 若，求BD和AC的长 例6在中，、、分别为角、、所对的边，． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 例7在△中，，，分别是角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求和的值． 例8（1）求证：.. （2）在锐角三角形中，已知，且，求的范围. 例9在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 举一反三 1．在△ABC中，，， （1）求的值； （2）求的值。 2．已知函数其中在中，分别是角的对边，且．（1）求角A；（2）若，，求的面积． 3．在中，角所对的边分别为，已知．[来．Com] （1）求的值； （2）若，求． 4．已知：在中，，，分别是角，，所对的边长，是和的等差中项． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若的面积，且，求的周长． 5．已知的内角所对的边分别为，且 （1）求的值 （2）若，，求的面积． 6．在中，角，，所对的边分别为，，，满足. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 7．△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 （1）求; （2）若求△ABC的周长. 8.的内角的对边分别为 ，已知，，． （1）求； （2）设为边上一点，且，求的面积． 9．在中，. （1）求的值； （2）若，的面积为，求边长的长. 10．已知中，、、是三个内角、、的对边，关于的不等式的解集是空集． （Ⅰ）求角的最大值； （Ⅱ）若，的面积，求当角取最大值时的值． 11．的内角所对的边分别是，且，. （1）求； （2）若边上的中线，求的面积. 12．在中，已知． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的取值范围； （Ⅲ）求的最大值． 13．三角形的内角所对的边分别是，，，且 （1）若三角形是锐角三角形，且，求的取值范围； （2）若，，求三角形的面积． 14．如图，在 中，角 的对边分别为 , . （1）求角 的大小； （2）若 为外一点， ，求四边形面积的最大值. 15．在中，设角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围. 课后练习 1．在中，角， ， 的对边分别是， ， ， ， ． （I）求边的值． （II）若，求的面积． 2．设向量，函数. （1）求函数的最小正周期； （2）中边所对的角为，若，当取最大值时，求的面积. 3．已知，，分别为锐角内角，，的对边，. （1）求角； （2）若，求面积的最大值. 4．在中，角的对边分别为，的外接圆半径，且满足. （1）求角和边的大小； （2）求的