2.2 基本不等式 讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 知识点： 1. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） 2. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”） (3)若，则 (当且仅当时取“=”） 注意： (1) 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 考点一　利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的三种方法 一、直接法求最值 [典例1]　(1)．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80　 　B．77　　 　C．81　 　D．82 (2)．若x＞0，则x＋(　　) A．有最大值，且最大值为4 B．有最小值，且最小值为4 C．有最大值，且最大值为2 D．有最小值，且最小值为2 二、配凑法求最值 技巧一：凑项 [典例3]　已知，求函数的最小值。 变式训练： 1、当时，求的最小值. 2．当时，的最小值为 . 3．当时，的最小值为（ ） 技巧二：凑系数 [典例4] 当时，求的最大值。 变式训练： 1、设，求函数的最大值。 2、(2020·大连模拟)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是(　　) A． B． C．3 D．9 3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 技巧三： 分离 [典例5] 求的值域。 变式训练： 1、求函数的最小值. 2、若－4＜x＜1，则f(x)＝(　　) A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 3、ab＞0，则的最小值为(　　) A．2　　 B．　　 　C．3　 D．2 三、常数代换法求最值 [典例6] 已知 ，，且，求的最小值。 变式训练： 1、设x，y为正数，若x＋＝1，则＋的最小值是________，此时x＝________. 2、设x，y为正数，若2x＋y＝4，则＋的最小值是________，此时x＝________. 3、已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值为(　　) A．＋ B．＋ C．3＋2 D．＋ 4、(2020·天津高考)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________． [能力提升] 1、(多选)(2020·济南一中期中)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.＋有最小值4　 B．有最小值 C.＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 2．(2019·天津高考)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为________． 3、已知不等式2x＋m＋＞0对一切x∈恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m＞－6 B．m＜－6 C．m＞－7 D．m＜－7 4、已知，若，则的最小值为 ， 若，则的最小值为 5、已知，为正实数，且，求的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$