专题02 二次函数最值问题-2023-2024学年九年级数学二次函数易错专题复习

二次函数易错专题复习二：二次函数最值问题 【易错点一：隐含二次函数最值】 二次函数最值问题，属于考试必考题型，考察范围较广，对学生理解要求更好，隐含二次函数最值，主要是求代数式最值问题和几何中最值问题，二次函数作为解题计算工具来考察，常错的点主要是 ①代数式与二次函数联系，如何变形求二次函数最值，同时考虑自变量取值问题 ②几何最值，主要是把几何问题如何转化为二次函数问题，学生很容易忽略，思考不到位，找不到关联性 【知识点】 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【考点一：代数式中最值】 方法指引：先根据代数式情况，化简转化为二次函数，再根据二次函数求最值 例题1．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）设是关于的方程的两个实数根，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 变式训练1．（2023秋·山东泰安·九年级校考阶段练习）若，则的最大值为（        ） A． B．4 C．5 D． 例题2．（2023·江苏南通·统考二模）若实数a，b，c满足，则c的最小值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式训练1．（2022·江苏扬州·校联考一模）若实数x、y满足2x2﹣6x+y＝0，则x2+y+2x的最大值是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 针对性练习 1．（2023·江苏·模拟预测）已知点，在直线（为常数，）上，则有（　　） A．最大值 B．最大值9 C．最小值 D．最小值9 2．（2023秋·湖北武汉·九年级统考阶段练习）已知二次函数，其中、……、是常数，当时，该二次函数有最小值．若，则m与n的数量关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·广东广州·九年级广州市育才中学校考阶段练习）若关于的方程有两个实数根，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏宿迁·统考二模）定义：，若函数，则该函数的最小值为（   ） A． B．0 C． D．3 5．（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）已知点，都在一次函数（，是常数，）的图象上，（    ） A．若有最大值4，则的值为 B．若有最小值4，则的值为 C．若有最大值，则的值为4 D．若有最小值，则的值为4 6．（2023·江苏盐城·统考三模）规定：若，，则．例如，，则．已知，，且，则的最小值是 ． 7．（2023春·江苏连云港·九年级专题练习）已知实数、满足，则代数式的最小值是 ． 8．（2023秋·江苏泰州·九年级校考期末）小明对自己上学路线的长度进行了20次测量，得到20个数据，已知，当代数式取得最小值时，x的值为 ． 9．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知反比例函数的图像经过点，函数的图像与直线平行，并且经过反比例函数图像上一点．则函数有最 值，这个值是 ． 10．（2022春·安徽宣城·九年级统考自主招生）若实数，，，且，． (1)设，求的最大值与最小值； (2)设，求的最大值与最小值． 11．（2023·江苏徐州·统考中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故． 【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，．求证：． 【尝试应用】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为_______．    【考点一：几何中最值】 方法指引：先根据几何性质特点，列出对应关系式，再根据关系式化简转化为二次函数，再根据二次函数求最值（注意自变量取值范围） 例题1．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考期中）如图，在矩形中，，，点E是线段的三等分点（），动点F从点D出发向终点E运动，以为边作等边，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（      ）    A． B． C． D． 变式训练1．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，当最短时，点C的坐标为（　　）    A． B． C． D． 例题2．（2023秋·河北石家庄·九年级统考阶段练习）如图，这是一块直径为的圆