2024届高考函数难点破解：应用GGB数形结合研究指对函数图象交点问题

GGB辅助教学典型案例 ——数形结合探究指、对函数图象交点问题 问题：同底的指数函数（）与对数函数（）图象可能有几个交点？ 这是高中函数教学中困扰广大师生的难点问题．结合GGB的动态直观演示功能，可以数形结合直观地解决这个问题．步骤如下： 1．打开GGB工作页面，创建一个滑动条，命名为． 2．输入函数和函数． 3．拉动滑动条，可以动态观察函数与图象相交的情况． (1)若 ①拉动滑动条，让足够大，观察发现：两函数图象不相交，无交点（如上图所示） ②拉动滑动条，让逐渐变小，观察发现：两函数图象逐渐靠近，在两图像刚好一接触（即相切）的那一刹，两函数图象只有一个公共点．记此时的的值为． ③拉动滑动条，当时，观察发现两函数图象有两个交点． (2)若 ①拉动滑动条，当足够大时，观察发现：两函数只有一个交点．设交点为，过点分别作函数与的切线．此时 ②拉动滑动条，当逐渐变小时，观察发现：两切线逐渐靠近．在两切线重合的那一刹，即时，两函数图像只有一个交点．设此时的值为． ③拉动滑动条，当时，观察发现：两切线的斜率满足，此时两函数图像有3个交点（如图所示三点）． 4．如何求出临界值？（其中） ①当时，两函数图象有唯一公共点．点在对称轴上，设．此时两函数在点处的切线重合，即对称轴直线． 函数，的导函数分别为，， 于是，即 由式得，代入式得，即，． 故临界值． ②当时，两函数图象有唯一公共点．点在对称轴上，设． 此时两函数在点处的切线重合， 于是，即 式代入式得，因为，所以， 代入式得，即，即． 故临界值． 5．综上所述，指数函数与对数函数图象的交点情况为： ①当时，两函数图象有3个交点； ②当时，两函数图象有1个交点； ③当时，两函数图象有2个交点； ④当时，两函数图象有1交点； ⑤当时，两函数图象有2个交点； 说明： 以上结合GGB软件数形结合动态直观解决交点问题的方法，优点是直观形象，缺点是欠缺严谨性．严谨论证详见附录的论述． 附：指数函数与对数函数交点个数问题的严谨论证 论题：指数函数与对数函数 交点个数问题． 论述：分及两种情况进行讨论． （一）当时，过原点作函数的切线，设切点为 ∵ ∴切线的斜率 又∵ ∴ ∴ 从而 (1)当，即，亦即时，点在直线上，∴ 故，可得 ∴是与的公共点． (2)当,即，亦即时，与相离, 与没有公共点． (3)当,即，亦即时，与有两个公共点,,同理可知,均是与的公共点． 下面先证如下引理： 当时，与不可能有不在上的公共点． 证明：用反证法． 假设与有公共点,, 若,则①，②，由②可得③ ∵在上单调递增，又∵∴由此式结合①③可知,这与矛盾．故不能成立． 同理时亦不能成立． 从而假设不真． 引理得证． 综上可知： 当时, 与有两个公共点, 当时, 与有唯一公共点, 当时, 与没有公共点． （二）当时,作函数, 易知, 不妨设, 则, 过原点作的切线,则切线的斜率 (1)当,即时,恒成立．从而在上单调递增, ∴有唯一的零点． (2)当,即时, 不妨设与交于两点,, () 则当时,, 当时, , 当时, ∴的单调递增区间为,,单调递减区间为 在处取得极大值,且, 在处取得极小值,且, 由零点存在定理可知, 有3个零点,分别在区间,,之内． 下面补充证明，． 证明：设（）与的交点为 ∵ ∴ ∴ 即当时，的函数值小于的函数值，数形结合可知 ∵（）与的交点为 ∴从而 于是 又∵ ∵，∴， 又∵，∴，∴ ∴，又∵当时,, 当时, , 当时, ∴ 又∵在区间单减及 ∴且． 证毕． 综上可知： 当即时，与有唯一公共点,且此公共点在上， 当即时，与有三个公共点,且有两个不在直线上，但关于对称，而第三个公共点在直线上． 综合以上论述,我们可以得到如下结论： ①当时，与有三个公共点,且有两个不在直线上，但关于对称，而第三个公共点在直线上； ②当时，与有唯一公共点,且此公共点在上，当③时, 与有两个公共点,且两个公共点均在直线上； ④当时, 与有唯一公共点, 且该公共点在直线上； ⑤当时, 与没有公共点． 学科网（北京）股份有限公司 $$