4.1.1 n次方根与分数指数幂 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.1.1 n次方根与分数指数幂 1 根式 我们知道，如果x2=a，那么x叫做a的 . 如果x3=a，那么x叫做a的 . 类似地,由于 我们就把 叫做16的 . 由于25=32，2就叫做32的 . 一般地,如果 ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且 4次方根 立方根 平方根 5次方根 2 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N* 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，a的n次方根记为 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数， 注： 负数没有偶次方根 0的任何次方根都是0,记为 N次方根的概念 (n为奇数) (当n是偶数,且a＞0) 奇次方根 1.正数的奇次方根是一个正数, 2.负数的奇次方根是一个负数. 偶次方根 2.负数没有偶次方根 1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 其中 N次方根的概念 例： 式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。 根式 根指数 根式的概念 被开方数 6 根式的性质： -6 2 6 0 2 2 6 1. 2. -6 重要结论  当n为奇数时， 当n为偶数时， 8 答案:(1)-2　(2)[-3,3] 实数指数幂的扩充 1.计算下列各式，并指出它们是哪一类计算 2.正整数指数幂： 叫做 a 的 n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数. 并规定. （注：在上述定义中，n必须是正整数，所以这样的幂叫做正整数指数幂.） 复习回顾 13 3.向整数指数幂推广 规定： 注: ①0的负整数指数幂没有意义； ②如此规定零指数幂和负整数指数幂,就把正整数指数幂推广到整数指数幂,并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立. 14 规定正数的正分数指数幂的意义 规定正数的负分数指数幂的意义 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂没有意义， 分数指数幂 15 （1） （2） （3） （4） 有理数指数幂的运算性质 （5） 整数 16 正整数指数幂 整数指数幂 有理数指数幂 分数指数幂 实数指数幂 根式与分数指数幂的互换(其中字母都为正数) 例2 求值 底数:小数化成分数,底数化成幂的形式 指数:负指数化成正指数 分母:可以先把分母写成负指数幂 19 例3 计算下列各式（式中字母都是正数） 20 变式 计算下列各式 根式与分数指数幂混合运算时常用的处理方法： 化根式为分数指数幂 多重根式由内到外依次去掉根号 22 Topic. 02 02 无理数指数幂 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α为无理数)是一个确定的实数． 定义 (1)对于无理数指数幂,我们只需要了解两点: ①它是一个确定的实数; ②它是有理数指数幂无限逼近的结果.(2)定义了无理数指数幂之后,幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围. 说明 无理数指数幂 因此：整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质． 无理数指数幂 (1)(2)正确，(3)不正确． 无理数指数幂 运用指数幂公式化简求值 无理数指数幂 进行指数幂运算时 （1）将系数、同类字母归在一起，分别计算； （2）化负指数为正指数， （3）化小数为分数进行运算， 从而便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的． 方法总结 无理数指数幂 无理数指数幂 Topic. 03 03 课堂小结 课堂小结 总结： 1.无理数指数幂。 2.无理数指数幂运算 无理数指数幂 运用指数幂公式化简求值 无理数指数幂 进行指数幂运算时 （1）将系数、同类字母归在一起，分别计算； （2）化负指数为正指数， （3）化小数为分数进行运算， 从而便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的． 方法总结 无理数指数幂 无理数指数幂 【例1】 (1)若x6=2 019,则x=　　　　　;  (2)若有意义,则实数m的取值范围是　　　　　;  (3)化简的结果为　　　　　.  解析:(1)由方根的定义可得x=±. (2)依题意有解得m≤3. (3)=|x+3|-(x-3)= 答案:(1)±　(2)m≤3　(3) 【变式训练1】 (1)=　　　　　;  (2)使等式=(3-a)成立的实数a的取值范 围是　　　　　.  解析:(1)=-2; (2)因为=|a-3|·=(3-a), 所以需满足解得a∈[-3,3]. 1．下列运算是否正确？ (1)(3eq \r(2))eq \r(2)＝9； (2)aeq \s\up11(\f(π,3))·aeq \s\u