重庆市垫江县2023年中小学教师专业素养大赛数学试题

2023年垫江县中小学教师专业素养大赛 　 数学学科试题卷 (本试题共21道题，考试时间150分钟，总分100分) 注意事项： 　　1.答卷前，老师们务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2.所在答案均写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ部分　　　专业知识（16分） 一、简述题(本题共2小题，每小题8分，共16分) 1.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）案例18 杨辉三角 【情境】图中的表称为杨辉三角，它出现在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中。这是我国数学史上的一个伟大成就。 （1）根据图中特点，结合新课标写出该案例的教学目的。 （2）请观察杨辉三角，探究并写出该图形的重要性质， 至少四条。 2．案例解析：现行的人教版新教材数学必修第二册48页练习题：“3.在中，已知求”。有学生作出了如下解答 解：由题： 由正弦定理，∴ 在△ABC中，由余弦定理： ，解得：或 综上：，或。 请对该题的解答进行点评，并提出教学建议。 第Ⅱ部分　　　试题解答及解析（84分） 一、单选题(本题共6小题，每小题 3分，共18分) 3. 集合，则有（   ） A． B． C． D． 4. 若单位向量满足，向量满足，则（  ）. A． B． C． D． 5.已知双曲线左右焦点 ，双曲线上点，，则（ ） A.1 B.9 C.1或9 D. 6. 已知数列的前项和满足:,且,那么 ( ) A.1 B.9 C.10 D.55 7. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数不互质的概率为 (　　) A. B. C. D. 8. 若均为任意实数，且，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共4小题，每小题3分，共12分，每题全对3分，错选0分，不全1分) 9. 已知复数，，下列结论正确的有（  ） A． B．若，则 C． D． 10. 如图，空间四边形中，分别是边，的中点，分别在线段上，且满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是梯形 C．当时，四边形是空间四边形 D．当时，直线相交于一点 11. 已知正实数满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 12. 已知点，过直线上一点作圆的切线，切点分别为，则（  ） A．以线段为直径的圆必过圆心 B．以线段为直径的圆的面积的最小值为 C．四边形的面积的最小值为4 D．直线在轴上的截距的绝对值之和的最小值为4 三、填空题(本题共4小题，每小题3分，共12分) 13.已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数：                                       据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________. 14.已知集合或 ，或 ，，则 15. 已知函数，若的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是 16.已知球的内接三棱锥的体积为6，且的长分别为，则三棱锥的体积为 四、解答题(本题共5小题，共42分) 17. （本题7分）有理数都能表示成且与互质的形式，进而有理数集且与互质。任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数。反之任一有限小数也可以转化为的形式，从而是有理数；那么无限循环小数是否为有理数？思考下列问题： （1）是有理数吗？请说明理由 （2）是有理数吗？请说明理由 18. （本题7分）如图甲，在四边形中，，，将△沿折起得图乙，点是上的点. (1)若为的中点，证明：平面； (2)若，试确定的位置，使二面角的正弦值等于. 19. （本题8分）已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),右焦点为F(,0),且离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=. 20. （本题8分）设函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围. 21. （本题12分，解答8分，解析4分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则