第八章 8.6 8.6.3 平面与平面垂直-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

8.6.3 平面与平面垂直 　 第 八 章 8.6 空间直线、平面的垂直 学习目标 1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角．　 2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．　 3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题． 随 堂 演 练 知识点二　平面与平面垂直的定义和判定 知识点三　平面与平面垂直的性质 综 合 应 用 知识点一　二面角 课 时 精 练 内 容 索 引 知识点一　二面角 索引 问题导思 如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉，你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？ 提示：这儿的面面“夹角”是指笔记本的两个平面所成的角，即二面角；二面角的大小是用其平面角来度量的． 新知形成 1．定义：从一条直线出发的两个________所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．画法： 3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q. 半平面 4．二面角的平面角 (1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的________，如图． (2)二面角的平面角α的取值范围是________________．平面角是直角的二面角叫做__________． 平面角 0°≤α≤180° 直二面角 (1)二面角的大小与垂足在l上的位置无关．(2)二面角的平面角必须具备三个条件：一是角的顶点在二面角的棱上；二是角的两边分别在两个半平面内；三是角的两边分别与二面角的棱垂直． 微提醒 例1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形是等边三角形，且AB A.30° B.45° C.60° D.90° √ 求二面角的平面角的大小的步骤 方法技巧 简称：“一作二证三求”． 即时练1.如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD. (1)二面角B -PA-D的平面角的大小为________； 90° 因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA. 所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B-PA-D的平面角的大小为90°． (2)二面角B -PA-C的平面角的大小为________． 45° 索引 因为PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA．所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角．又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°，故二面角B-PA-C的平面角的大小是45°． 知识点二　平面与平面垂直的定义和判定 索引 问题导思 教室里的墙面所在的平面与地面所在的平面所构成的二面角是多大？墙面与地面的位置关系是什么？ 提示：墙面所在的平面与地面所在的平面所构成的二面角的大小为90°；墙面与地面的位置关系是垂直相交． 新知形成 1．平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作________ . (2)画法： 直二面角 α⊥β 2．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直 符号语言 a⊥β，_______⇒α⊥β 图形语言 垂线 a⊂α 例2 因为在圆O中AC为弦，D为AC的中点，O为圆心， 所以AC⊥OD，因为在圆锥PO中，PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC， 所以PO⊥AC，因为OD∩PO＝O，所以AC⊥平面POD， 因为AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC. 证明面面垂直主要有两种方法 1．利用面面垂直的定义，证明二面角的平面角是直角． 2．利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只需证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是： 方法技巧 即时练2.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点. (1)求证：EF∥平面PCD； 如图，连接BD，则E是BD的中点，又F是PB的中点， 所以EF∥PD，又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以 EF∥平面PCD. 因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC， (2)求证：平面PBD⊥平面PAC. 因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD， 又PA∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC， 又BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC. 索引 知