第八章 8.6 8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

8.6.2　直线与平面垂直 第2课时 直线与平面垂直的性质 　 第 八 章 8.6 空间直线、平面的垂直 学习目标 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面垂直的性质定理，并加以证明．　 2.会应用直线和平面垂直的性质定理证明一些简单的空间线面关系．　 3.了解直线与平面、平面与平面的距离． 课 时 精 练 知识点二　线面距与面面距 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　直线与平面垂直的性质定理 内 容 索 引 知识点一　直线与平面垂直的性质定理 索引 问题导思 请回答以下问题： 1．如图，在长方体ABCD -A′B′C′D′中，棱AA′，BB′， CC′，DD′ 所在的直线都垂直于平面ABCD，它们之间 具有什么位置关系？ 提示：平行． 2．我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？ 提示：在空间中，垂直于同一直线的两直线不一定平行，但是垂直于同一平面的两直线一定平行． 新知形成 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______ 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 平行 (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． (2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据． 微提醒 例1 (多选)已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题正确的是 A.a⊥α，b∥β，且α∥β ⇒a⊥b B.a⊥b，a⊥α⇒b∥α C.a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c D.a⊥α，β⊥α⇒a∥β √ √ A显然正确；B中b⊂α有可能成立，故B不正确；C正确；D中a⊂β有可能成立，故D不正确． 常用的线面垂直的性质 1．b⊥α，a⊂α⇒b⊥a. 2．a⊥α，b∥a⇒b⊥α. 3．a⊥α，a⊥β ⇒α∥β. 　　 方法技巧 索引 即时练1.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是 A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 √ 因为l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，所以l∥m. 知识点二　线面距与面面距 索引 问题导思 请回答以下问题： 1．类比平面内两条平行直线之间的距离，如果直线l平行于平面α，那么直线l上各点到平面α的距离有什么关系呢？ 提示：相等． 2．在棱柱、棱台的体积公式中，它们的高有什么特点呢？ 提示：它们的高就是它们两底面之间的距离，也说明两平行平面间的距离处处相等． 新知形成 1．直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上__________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 2．平面与平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 任意一点 相等 由直线到平面的距离与平行平面间的距离的定义知，它们都可以转化为点到平面的距离． 微提醒 例2 线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为______． 4 如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1. 则由线面垂直的性质可知， AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形， AA1＝3，BB1＝5， MM1为其中位线，所以MM1＝4. 求线面距、面面距的方法 1．利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． 2．利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．　　 3．通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．　　 方法技巧 索引 即时练2.△ABC的三个顶点A，B，C到平面α的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为________． 3 cm 设点A，B，C在平面α上的射影分别为A′，B′，C′，△ABC的重心为G，连接CG交AB于E(图略)，则E为BA的中点． 又设E，G在平面α上的射影为E′，G′， 由EE′⊥α，GG′⊥α，CC′⊥α， 知EE′∥GG′∥CC′. 在梯形AA′B′B中， 又CC′＝4，CG∶GE＝2∶1. 在直角梯形EE′C′C中，可得GG′＝3. 综　合　应　用 索引 例3 应用一　直线与平面垂直性质的应用 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，