第七章 7.1 7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

7.1.1 数系的扩充和复数的概念 　 第 七 章 7.1　复数的概念 学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．　 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．　 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． 课 时 精 练 知识点二　复数的分类 知识点三　复数相等 随 堂 演 练 知识点一　复数的有关概念 内 容 索 引 知识点一　复数的有关概念 索引 问题导思 请回答以下问题： 1．正实数的平方根有两个，0的平方根是0，负实数有平方根吗？ 提示：在实数范围内，负实数无平方根． 2．我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 提示：为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1. 新知形成 1．复数 定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__________，满足i2＝_____ 表示 方法 复数通常用字母___表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的______与______ 2．复数集 定义 __________构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集 表示方法 通常用大写字母C表示 虚数单位 －1 z 实部 虚部 全体复数 (1)i2＝－1；(2)i和实数之间能进行加法、乘法运算；(3)在z＝a＋bi中不作特殊说明时a，b∈R. 微提醒 例1 √ 若复数z满足z＝6i＋2i2，则z的虚部是 A. －2i B. 6i C. 1 D. 6 z＝6i＋2i2＝－2＋6i，则z的虚部是6，故选D． 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 方法技巧 索引 A.1＋2i B.1－2i C.－1 D.3 √ 知识点二　复数的分类 索引 问题导思 复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以是实数吗？需满足什么条件？ 提示：可以是实数，当b＝0时，z＝a＋bi(a，b∈R)为实数． 新知形成 1．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)． (1)z为实数⇔b＝0， (2)z为______⇔b≠0， (3)z为纯虚数⇔____________． 2．复数分类的集合表示 虚数 a＝0且b≠0 例2 (1)虚数； (2)纯虚数； (3)实数． [变式探究] (变结论)若本例中条件不变，当m为何值时，z>0. 因为z>0，所以z为实数，需满足 复数分类问题的求解方法与步骤 1．化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．　　 2．定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． 3．下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则： (1)z为实数⇔b＝0； (2)z为虚数⇔b≠0； (3)z为纯虚数⇔a＝0且b≠0； (4)z＝0⇔a＝b＝0.　　 方法技巧 索引 即时练2.若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为 A．1 B．2 C．1或2　　　 D．－1 √ 知识点三　复数相等 索引 问题导思 请回答以下问题： 1．两个实数可以比较大小，那么两个复数可以比较大小吗？ 提示：如果两个复数都是实数，可以比较大小；如果两个复数不都是实数，不能比较大小；只有相等或不相等的关系． 2．两个复数相等需要满足什么条件？ 提示：两个复数相等需要满足实部与虚部分别对应相等． 新知形成 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔____________．特别地，a＋bi＝0⇔_________． a＝c且b＝d a＝b＝0 两个虚数不能比较大小． 微提醒 例3 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值； 设方程的实数根为x＝m， 复数相等问题的解题技巧 1．必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． 2．根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． 3．如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．　 方法技巧 即时练3.复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________． 5 因为m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋