第六章 6.2 6.2.4　第2课时　向量数量积的运算律及应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6.2.4　向量的数量积 第2课时　向量数量积的运算律及应用 　 第 六 章 6.2　平面向量的运算 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．　 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 知识点　向量数量积的运算律 内 容 索 引 知识点　向量数量积的运算律 索引 问题导思 请回答以下问题： 1．向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？ 提示：不相同；数量积得到的结果是实数；而数乘运算得到的结果是 向量． 2．类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 提示：满足交换律和分配律． 新知形成 1．对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝_____(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝______(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝__________ (分配律)． b·a a·(λb) a·c＋b·c 2．多项式乘法与向量数量积的相同点 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝__________________ (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝__________________ (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b) ·(a－b)＝_____________ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝_________________________________ a2＋2a·b＋b2 a2－2a·b＋b2 a2－b2 a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a (1)a·b＝b·c推不出a＝c. (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量． 微提醒 例1 (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是 A. a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 根据数量积的分配律知A正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形，所以|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；显然D正确．故正确结论的选项是ACD． √ √ √ 向量的数量积a·b与实数a，b的乘积ab有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律． 方法技巧 索引 即时练1.给出下列结论： ①若a·b＝a·c，则b＝c； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2. 其中正确的是________．(填序号) 由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确． ② 综　合　应　用 索引 例2-1 应用一　利用数量积求向量的模和向量的夹角 已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝______． 法二：(数形结合法) 已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝ . (1)求|b|； 例2-2 (2)当a·b＝－ 时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． 因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1. 1．求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方． 2．求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝ 求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解．　 方法技巧 (2)求a与a－2b的夹角． 设a与a－2b的夹角为θ，因为a·(a－2b)＝a2－2a·b＝4＋2＝6， 应用二　与垂直有关的问题 已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为 ，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为 A. 4 B．－4 例3 √ 解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)．　　 方法技巧 索引 即时练3.已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小． 设a与b的夹角为θ， 由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cos θ－8＝0， 所以cos θ＝ ，