第六章 6.2 6.2.4　第1课时　两向量的夹角及数量积的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6.2.4　向量的数量积 第1课时　两向量的夹角及数量积的概念 　 第 六 章 6.2　平面向量的运算 学习目标 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．　 2.掌握向量数量积的定义及投影向量．　 3.会计算平面向量的数量积． 课 时 精 练 知识点二　两向量的数量积 知识点三　投影向量 随 堂 演 练 知识点一　两向量的夹角 内 容 索 引 知识点一　两向量的夹角 索引 问题导思 在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是谁与谁的夹角？ 提示：θ是向量F与向量s的夹角． 新知形成 当θ＝0时，a与b______；当θ＝π时，a与b______． 2．垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作a⊥b. 非零向量 ∠AOB＝θ 同向 反向 两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． 微提醒 例1 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形， 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°． 1．求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． 2．特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.　　 方法技巧 索引 A.30°　 B.60° C.120°　 D.150° √ 知识点二　两向量的数量积 索引 问题导思 物体在力F的作用下产生位移s时，力F所做的功是如何计算的？ 提示：W＝|F|·|s|cos θ(θ为F与s的夹角)． 新知形成 1．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为___． 0 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b ⇔ a·b＝0. ≤ (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． (4)|a|＝ 是求向量的长度的工具． 微提醒 例2 已知正三角形ABC的边长为1，求： 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b| cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上 条件．　 方法技巧 索引 0 －16 －16 即时练3.设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________． 知识点三　投影向量 索引 问题导思 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，与位移s方向一致的分力F1的大小是多少？ 提示：如图所示，F1的大小为|F|cos θ. 新知形成 投影 投影 (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量． (2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性． 微提醒 例3 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b； a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10. (2)求a在b上的投影向量． 投影向量的求法 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ e(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量)．　　 方法技巧 √ 索引 索引 A.3　　　 B.－3 √ 2．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是 A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C．若a⊥b，则a·b＝0 D．|a|＝ a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误；由数量积的性质知，C正确；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝ ，所以D正确．故选CD． √ √ 索引 4.已知|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________． e 2 课　时　精　练 索引 基础达标 1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a