第六章 6.4　6.4.3　第5课时　余弦定理、正弦定理的综合应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第5课时　余弦定理、正弦定理的综合应用 　 第 六 章 6.4　平面向量的应用 学习目标 1.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式．　 2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用．　 3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用． 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 知识点　三角形面积公式 内 容 索 引 知识点　三角形面积公式 索引 问题导思 请回答以下问题： 1．在△ABC中，若已知两边及其夹角，你能利用面积公式求出△ABC的面积吗？ 2．若△ABC存在内切圆，并且内切圆的半径为r，则三角形的面积与r之间存在什么关系呢？ 提示：将三角形内切圆的圆心与顶点A，B，C相连，则△ABC的面积等于三个小三角形的面积之和，即S△ABC＝ (a＋b＋c)r. 新知形成 2．△ABC中的常用结论 (1)A＋B＋C＝_____，sin(A＋B)＝_______，cos(A＋B)＝_________； (2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sin A>sin B. 180° sin C －cos C 例1 (1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________． 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B， 即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8(舍去)． (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝_____． 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．　　 方法技巧 即时练1.(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2， AC＝1. (1)求sin∠ABC； 由余弦定理可得： BC2＝a2＝b2＋c2－2bccos A ＝1＋4－2×1×2×cos120°＝7， 索引 (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 综　合　应　用 索引 例2 应用一　余弦、正弦定理在平面几何中的应用 (1)求sin C的值； (2)若BD＝5，求△ABD的面积． 在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角．　　 方法技巧 (1)求AC的长； (2)若AB⊥AD，∠B＝ .求BC的长． 应用二　余弦、正弦定理与三角函数的综合应用 (1)求a和sin C的值； 例3 又b－c＝2，解得b＝4，c＝2或b＝－2，c＝－4(舍去)， 所以b＝4，c＝2， 正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值；二是先利用函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题．　 方法技巧 即时练3.(2023·全国新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin ＝sin B. (1)求sin A； 因为A＋B＝3C， 又2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)， 所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Acos C＝3cos Asin C， 所以sin A＝3cos A， 索引 (2)设AB＝5，求AB边上的高． 索引 A. 30°　 B. 60° C. 150°　 D. 120° √ √ A. 60°或120° B. 30° C. 60° D. 45° √ 3．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B的值为 √ 7 由已知及正弦定理可得，2cos A(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝sin A， 可得2cos Asin(B＋C)＝sin A， 索引 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，解得b＋c＝7. 课　时　精　练 索引 基础达标 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 45° 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13