第六章 6.4 6.4.3　第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 　 第 六 章 6.4　平面向量的应用 学习目标 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题．　 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力． 随 堂 演 练 课 时 精 练 综 合 应 用 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 例1 应用一　测量距离问题 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点间的距离． 在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，所以∠CBD＝90°－45°＝45°＝∠BCD， 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°， 所以∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°． 在△ABC中，由余弦定理，得 测量距离问题的基本类型及方案 方法技巧 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方案 先测角C，AC＝b，BC＝a，再利用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 即时练1.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝45 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则BD两点的距离为______m，AD两点的距离为______m． 45 因为∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，所以∠DCB＝135°，∠CBD＝30°， 所以△ACD是等腰三角形，则AD＝CD＝45. 应用二　测量高度问题 如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100米，在点C测得塔顶A的仰角为60°．求塔高AB. 例2 (1)在△BCD中，因为∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100，则∠CBD＝75°， 依题意，AB⊥BC， 测量高度问题的基本类型及方案 方法技巧 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C 底部不可达 点B与C， D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C， D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数， 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 即时练2.(多选)甲，乙两楼相距20 m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有 √ √ 应用三　测量角度问题 如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离30－30海里处有一个小 岛C. (1)求小岛A到小岛C的距离； 例3 (2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向． 在△ABC中，因为BC<AC，所以∠ACB为锐角， 所以∠ACB＝45°，所以∠CAB＝180°－120°－45°＝15°． 由75°－15°＝60°得游船应该沿北偏东60°的方向航行． 画测量角度问题示意图的基本步骤 方法技巧 即时练3.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A点( －1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的C处我方缉私船，奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？ 索引 所以∠ABC＝45°，所以B点在C点的正东方向上， 所以∠CBD＝90°＋30°＝120°． 故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船． 索引 1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的　 A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° 由条件及题图可知，A＝B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A