第六章 6.4 6.4.3　第3课时　余弦定理、正弦定理的简单应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第3课时　余弦定理、正弦定理的简单应用 　 第 六 章 6.4　平面向量的应用 学习目标 1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系．　 2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状．　 3.掌握正弦、余弦定理的简单应用． 随 堂 演 练 课 时 精 练 综 合 应 用 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 例1 应用一　利用正弦、余弦定理解三角形 法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 所以a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，所以C＝120°； 又c>b，所以30°＜C＜180°，所以C＝60°或C＝120°． 当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝ ＝6； 当C＝120°时，A＝30°＝B，a＝b＝3. 若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角，但要注意此三角形解的个数的判断；也可用余弦定理求解，如在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数．　　 方法技巧 即时练1.已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C) 由正弦定理，得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 又因为0°<C<180°，所以C＝45°． 应用二　利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 例2-1 由正弦定理得，acos B＝bcos A⇒sin Acos B＝sin Bcos A⇒sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形． 故选A． √ 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 例2-2 因为sin2A＝sin2B＋sin2C，所以a2＝b2＋c2，所以A是直角． 因为A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C， 所以sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C，所以sin(B－C)＝0. 又－90°＜B－C＜90°，所以B－C＝0，所以B＝C， 所以△ABC是等腰直角三角形． 判断三角形形状的方法及注意事项 1．方法：利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状． 2．注意事项：统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．　　 方法技巧 即时练2.在△ABC中，已知3b＝2 asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 √ 即时练3.在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，则此三角形为 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 √ 在△ABC中，由acos C＋ccos A＝bsin B，以及正弦定理可知，sin A cos C＋sin C cos A＝sin2B，即sin(A＋C)＝sin B＝sin2B，因为0<B<π，sin B≠0，所以sin B＝1，B＝ ，所以三角形为直角三角形．故选C． 应用三　正弦、余弦定理的综合问题 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ acos B. (1)求B的大小； 例3 (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． 因为sin C＝2sin A，所以由正弦定理，得c＝2a， 利用正弦、余弦定理解三角形的注意点 正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．　　 方法技巧 即时练4.(2023·天津卷) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝ ，b＝2，A＝120°． (1)求sin B的值； (2)求c的值； 解得c＝5或c＝－7(舍去)． 索引 索引 1．(2023·全国乙卷) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝ ，则B＝ √ √ √ 3．如