第六章 6.4 6.4.1　平面几何中的向量方法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6.4.1　平面几何中的向量方法 　 第 六 章 6.4　平面向量的应用 学习目标 1.能用向量方法解决简单的几何问题．　 2.体会向量在解决数学问题中的作用． 随 堂 演 练 课 时 精 练 综 合 应 用 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 例1 应用一　用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 方法技巧 即时练1.如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H.求证：HG∥EF. 因为点G不在直线EF上，所以HG∥EF. 应用二　用向量解决平面几何中的垂直问题 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 例2 则|a|＝|b|，a·b＝0. 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， 方法技巧 利用向量解决垂直问题的方法和途径 1．方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 2．途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．　　 即时练2. 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)， 法二：如图，建立平面直角坐标系． 应用三　利用平面向量求几何中的长度问题 如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的 一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形 PFCE是矩形．试用向量法证明：PA＝EF. 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1， 例3 2 2 2 2 方法技巧 用向量法求平面几何中线段的长度问题，即向量模的求解，一是利用图形特点选择基底，转化为向量的数量积，用公式|a|2＝ a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，利用向量的坐标计算|a|＝ (a＝(x，y))，即把向量问题中的几何关系代数化，使问题解决程序化，从而降低难度．　　 即时练3.在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 应用四　利用平面向量求几何中的角度问题 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝ DC．求： (1)AD的长； 例4 (2)∠DAC的大小． 所以θ＝90°，即∠DAC＝90°． 方法技巧 用向量法求角度的策略 1．将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角 即可． 2．要注意，两向量夹角和要求角的关系．　　 即时练4.正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE＝________． 索引 索引 A．是正三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．形状无法确定 √ 2．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为 A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 √ 3．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC等于 √ 索引 1 课　时　精　练 索引 基础达标 C. 5　　 D. 10 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 点O是△ABC的 A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 7．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC. 则a＝e＋c，b＝e＋d， 所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2， 由条件知，a2－b2＝c2－d2， 所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0，即 ＝