第六章 6.3　6.3.5　平面向量数量积的坐标表示-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 　 第 六 章 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．　 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 随 堂 演 练 知识点二　平面向量的模 知识点三　平面向量的夹角、垂直问题 综 合 应 用 知识点一　平面向量数量积的坐标表示 课 时 精 练 内 容 索 引 知识点一　平面向量数量积的坐标表示 索引 问题导思 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. 因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又因为i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，所以a·b＝x1x2＋y1y2. 新知形成 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________． x1x2＋y1y2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 微提醒 例1 (3)(a·b)c. (a·b)c＝(－4＋12)·(－1，－2)＝(－8，－16)． 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： 1．|a|2＝a·a. 2．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. 3．(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.　　 方法技巧 索引 即时练1.已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则 x等于　　 A. 6　　 B. 5 C. 4　　 D. 3 由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.故选C． √ 建立平面直角坐标系如图所示， 即时练2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上， 索引 知识点二　平面向量的模 索引 问题导思 若向量a＝(x，y)，你能计算出向量a的模吗？若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能计算出 的模吗？ 新知形成 x2＋y2 的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的． 微提醒 例2 设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于　 √ 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 1．求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． 2．a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．　 方法技巧 因为a＝(2，1)，所以a2＝5，又|a＋b|＝5 ，所以(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50， 索引 a2＋2a·b＋b2＝50， 所以5＋2×10＋b2＝50，所以b2＝25，所以|b|＝5. 5 知识点三　平面向量的夹角、垂直问题 索引 问题导思 你能根据向量数量积的坐标运算，表示两非零向量的夹角吗？当夹角为 时，得到的结论是什么？ 新知形成 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. (1)a⊥b⇔_______________． x1x2＋y1y2＝0 (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆． (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角． 微提醒 例3 已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)． (1)求a与b夹角的余弦值； 因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)， 又(a－λb)⊥(2a＋b)， 所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝ . 解决向量夹角问题的方法及注意事项 方法技巧 索引 (1)若a∥b，求实数m的值； 若a∥b，则1×m＝2×1，解得m＝2. (2)若a⊥b，求实数m的值； (3)若a与b夹角为锐角，求实数m的取值范围． 若a⊥b，则1×2＋1×m＝0，解得m＝－2. 若a与b夹角为锐角，则a·b＝1×2＋1×m>0，且a与b不同向共线，即m2，所以实数m的取值范围为m>－2且m≠2. 综　合　应　用 索引 例4 向量数量积坐标运算的综合应用 已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形AB