5.1.1 任意角 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.1 任意角 人教A版(2019)必修第一册 第五章 三角函数 (浙江省上虞中学)谢金怀 授课人： 一、情境引入 思考1：下面时间是该校准的？你能表示分 针所转过的角吗？ （１）老师的钟慢了５分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？ （２）老师的钟又快了1.25小时，想将它校准，分针又应该旋转多少度？ 跳水运动员转体三周半，那么转了几度？ 体操运动员腾空转体一周半，转了几度？ 双人跳的跳水运动员各自转体三周半，那么她们各自转了几度？角度一样吗？ 思考2： 前面这些角,我们虽知道是怎么来的,但却 不能用初中所学的角来表示,这是为什么呢？ 初中（定义） 角——从一点出发的两条射线所围成的图形。 先让我们来回顾一下初中学过的角的定义： 而我们前面碰到问题是转动的，正是这个转动,不但使其范围超出了0°～360°，而且其转动的方向有顺时针与逆时针之分，因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向。 （静止地） （角的范围是： 0°～360°） 二、合作探究 （高中定义） （运动地） （任意角） 角——一条射线绕一个端点从一个位置 旋转到另一个位置所形成的图形。 从上面分析，使我们既看到了原来角的定义的局限性（静止的、在0 ° ～360 °的），由此，也找到了旋转量与旋转方向是研究其运动规律的突破口。 因此，我们有必要将角的概念进行推广，并从旋转量与旋转方向这个突破口出发，去把角推广到任意角，这就是我们本节要研究的课题。 定义： 我们规定： 正角： 负角： 零角： 这样我们就把角的概念推广到了任意角。 终边 终边 B1 B2 A α=210° β=-150° 按逆时针方向旋转形成的角 按顺时针方向旋转形成的角　 一条射线没有作任何旋转形成的角 1.终边与始边重合的角是零角吗？ 2.零角的终边与始边重合吗？ 3.相等的角，终边一定相同， 那么，终边相同的角一定相等吗？ 思考3 终边 终边 B1 B2 A α=210° β=-150° 重合 不一定 不一定 思考1 现在我们就可来解决前面提出的角度如何表示了 （１）你的手表慢了５分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？ （２）假如你的手表快了1.25小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？ -30° 450°（逆时针）或-3870 °（顺时针） o x y 1)角的顶点与坐标原点重合， 2)角的始边与X轴的非负半轴重合。 再思考：如何来简化角的研究？ 终边落在坐标轴上就是非象限角。 终边落在第几象限就称角是第几象限角---常称为象限角， ——将角放在直角坐标系中！ 那么，角如何放？ o x y 将角按照上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应。反之成立吗？ 即对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角唯一吗？如果不唯一，那么终边相同的角又有什么关系？ 为研究这个问题，先一起来看下面图中在直角坐标轴系内的角-32°,328°,-392°,能否发现这些角有什么特点?它们之间有何联系？由此,去研究其规律. 3280 －3920 =-320+1x3600 =-320－1x3600 -320 -320+2x3600 , -320－2x3600 -320+3x3600 , -320－3x3600 … , … , 与-320终边相同的角的一般形式为 -320＋KX3600，K ∈ Z 与α终边相同的角的一般形式为α＋Kｘ3600，K ∈ Z S={ β|β=α+kx3600 , K∈ Z} 成果 ----- 与角α终边相同的角的集合形式为： （它们共同的特点是与-320角终边相同） （而与-320角终边相同的角的规律是：） 思考6:终边相同的角有 个，它们相差3600的 倍. 无数多 整数 x y o -320 3280 -3920 =-320+0x3600 = -320+3600 =-320－3600 例1　在0°～360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角并判定它是第几象限角： 解 : ∵-950°12′= 129048′-3×3600, ∴在0°～360°范围内, 与-950°12′角终 边相同的角是129°48