第二章 1．1　位移、速度、力与向量的概念　1 . 2　向量的基本关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§1　从位移、速度、力到向量 1．1　位移、速度、力与向量的概念　1.2　向量的基本关系 [学习目标]　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，理解向量与数量的区别．　2.理解平面向量的概念，掌握向量的模、零向量、单位向量、相等向量、平行(共线)向量、相反向量等概念．　3.掌握平面向量的表示方法．　4.了解向量的夹角． 知识点一　向量的概念与表示　 观察下列三个情境中反映的物理量有什么共同的特点？ 情景1　学校位于小明家北偏东60°方向．距离小明家2 000 m，从小明家到学校，可能有长短不同的几条路，无论走哪条路，位移都是向北偏东60°方向移动了2 000 m(如图1)． 情景2　 某著名运动员投掷标枪时，其中一次记录为：出手角度θ＝43.242°，出手速率为v＝28.35 m/s(如图2)． 情景3　汽车沿倾斜角为θ的坡路向上行驶，汽车的牵引力为F(如图3)． 图1 图2 图3 提示：在上面三个情景中反映的物理量有位移、速度和力，这些物理量都是既有大小又有方向的量，他们和长度、面积、质量等只有大小的量不同，在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小又有方向的量还有很多，如加速度、动量等． 向量的概念与表示 1．向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量统称为向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 2．向量的表示 (1)具有方向和长度的线段称为有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段，记作，线段AB的长度称为有向线段的长度，记作||. (2)向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． 学生用书↓第53页 (3)向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或a→，b→，c→，…(书写)来表示．向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模． [微提醒]　(1)书写向量时要带箭头． (2)有向线段是向量的直观表示，并不是说向量就是有向线段． (3)向量不能比较大小，向量的模可以比较大小． 3．与向量有关的概念 零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0或0→，任何方向都可以作为零向量的方向 单位向量 模等于1个单位长度的向量称为单位向量 [微提醒]　(1)若用有向线段表示零向量，则其终点与起点重合． (2)要注意0与0的区别与联系：0是一个实数，0是一个向量，且有|0|＝0. (3)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (4)在平面内，所有单位向量的起点平移到同一点，它们的终点则构成一个半径为1的圆． 下列说法中，正确的是(　　) A.零向量没有大小，没有方向 B.零向量的方向都是相同的 C.单位向量都是同方向 D.单位向量的长度都相等 D　[对于A，零向量的长度为0，方向是任意的，故错误；对于B，零向量的方向是任意的，故错误；对于C，单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；对于D，长度等于1个单位长度的向量称为单位向量，故正确．故选D.] 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点． (1)作出向量，，；(2)求||. 解析：(1)向量，，如图所示． (2)由题意，可知四边形ABCD为平行四边形，所以||＝||＝200 km． 方法技巧 1.对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 2．作向量的方法：用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点． 即时练1.下列说法中正确的是(　　) A.向量的模都是正实数 B.直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C　[零向量的模为0，故A不正确；直角坐标平面上的x轴，y轴只有方向，但没有长度，故不是向量，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确．故选C.] 即时练2.在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺画出下列向量： (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向； (2)，使||＝4，点B在点A正东方向； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向； (4)，使||＝3，点D在点C正南方向． 解析：(1)由于点A在点O北偏东45°方向，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量，如图所示． (2)由于点B在点A正东方向，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量，