第二章 2．1　向量的加法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§2　从位移的合成到向量的加减法 2．1　向量的加法 [学习目标]　1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．　2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则做两个向量的加法运算．　3.了解向量加法的运算律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性． 知识点一　向量加法的定义 请回答以下问题： 1．物体在天车的作用下，同时进行竖直向上方向的位移和水平向右方向的位移，实际位移可以看作竖直向上方向的位移与水平向右方向的位移的合成．请画出位移的合成． 提示：如图所示． 学生用书↓第57页 2．假如家住石家庄的张先生准备去北京出差，他乘飞机先从石家庄到天津，再乘火车从天津到北京，则张先生的位移是多少？ 提示：如图所示． 则张先生的位移是＝c. 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，称为向量的加法． 2．平行四边形法则：已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD，则有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则． 3．三角形法则：如图，作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的和．这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则． 4．由向量加法的定义可知，互为相反向量的两个向量的和为零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. 5．平面向量加法的三角不等式 在||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当且仅当a与b同向或反向时取等号． [微提醒]　(1)用平行四边形法则作a＋b必须使两个向量起点相同． (2)用三角形法则求和必须使两个向量首尾相接(即前一个向量的终点与后一个向量的起点重合)，和向量的方向是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，简述为“加向量，首尾连；和向量，起点到终点”． (3)向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则本质相同，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半． 如图，已知向量a，b，c，分别用三角形法则与平行四边形法则，求作向量a＋b＋c. 解析：三角形法则：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c. 如图①，(1)首先在平面内任取一点O，作向量＝a； (2)接着作向量＝c，则得向量＝a＋c； (3)然后作向量＝b； (4)所以向量＝a＋b＋c.即为所求． 平行四边形法则：如图②，(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b； (2)以，为邻边作平行四边形AOBC，则＝a＋b； (3)再作向量＝c； (4)以，为邻边作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c.即为所求． 方法技巧 1.应用三角形法则求向量和的基本步骤 (1)平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合； (2)以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． 2．应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 (1)平移两个不共线的向量使之共起点； (2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形； (3)平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． 即时练1.如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量． (1)＋＝________； (2)＋＝________； (3)＋＝________． 解析：(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝. (2)因为＝，故＋与方向相同，长度为的长度的2倍，故＋＝. (3)因为＝，故＋＝＋＝0. 答案：(1)　(2)　(3)0 即时练2.如图，已知向量a，b，求作向量a＋b. 解析：(1)作＝a，＝b，所以＝a＋b，如图①； (2)作＝a，＝b，所以＝a＋b，如图②； (3)作＝a，＝b，所以＝a＋b，如图③. 学生用书↓第58页 知识点二　向量加法的运算律 请回答以下问题： 1．实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？ 提示：满足，如图，检验如下： (a＋b)＋c＝(＋)＋＝＋＝， a＋(b＋c)＝＋(＋)＝＋＝， 所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 2．实数的加法运算满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？ 提示：满足，如图，检验如下： a＋b＝＋＝，b＋a＝＋＝，所以a＋b＝b＋a. 向量加法的运算律 1．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 2．交换律：a＋b＝b＋a． 特别地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝a＋0＝a. [微