第一章 1　周期变化-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

第二册 第一章　三角函数 §1　周期变化 [学习目标]　1.了解周期现象．能判断简单的实际问题中的周期．　2.通过实例初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性． 知识点一　周期函数 “天津之眼”摩天轮(The Tientsin Eye Ferris Wheel)，又称天津永乐桥摩天轮(The Yongle Bridge Tientsin Eye)，是天津地标之一．“天津之眼”摩天轮直径为110米，轮外装挂48个360度透明座舱，每个座舱可乘坐8个人，可同时供384个人观光，旋转一周所需时间为28分钟，顶点高度为119.8米．如果你从最低点登上摩天轮，你与地面的距离随时间的变化而变化，这种现象是周期现象吗？ 提示：是周期现象，且周期为28分钟． 周期函数 一般地，对于函数y＝f (x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f (x＋T)＝f (x)，那么函数y＝f (x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． [微提醒]　(1)周期T是非零常数，是使函数值重复出现的自变量x的增加值． (2)周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f (x)的周期，那么nT(n∈Z，n≠0)也一定是它的周期． (多选)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中是周期函数的是(　　) ABC　[由周期函数的定义知，ABC是周期函数．] 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈， (1)计算1小时内最多盛水多少升？ (2)若利用该水车盛800升的水，至少需要多少时间？ 解析：(1)因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)． (2)设x分钟后盛水y升，由(1)知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)， 所以y＝×160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟． 　　方法技巧 周期现象的判断 1．首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断． 2．收集数据、画散点图，分析数据特点，能直观的发现函数的周期性． 学生用书↓第2页 即时练1.下列变化中，不是周期现象的是(　　) A．“春去春又回” B.钟表的分针的运行 C．天干地支表示年、月、日的时间顺序 D．某同学每天上学的时间 D　[由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期变化．故选D．] 即时练2.探索如图所呈现的规律，判断2 023至2 024箭头的方向是(　　) C　[观察题图可知0到4为一个周期，则从2 023到2 024对应着3到4.故选C．] 知识点二　最小正周期 请回答以下问题： 1．若存在非零常数a，使函数f (x)在定义域上满足：f (x＋a)＝－f (x)，则函数f (x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？ 提示：由已知得：f (x＋2a)＝－f (x＋a)＝－(－f (x))＝f (x)，根据周期函数的定义，f (x)是以2a为一个周期的周期函数． 2．若存在非零常数a，使函数f (x)在定义域上满足：f (x＋a)＝，则函数f (x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？ 提示：由已知得：f (x＋2a)＝＝f (x)，根据周期函数的定义，f (x)是以2a为一个周期的周期函数． 最小正周期 如果在周期函数y＝f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f (x)的最小正周期．若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期． [微提醒]　不是所有周期函数都有最小正周期，如：函数f (x)＝1是周期函数，但无最小正周期． 已知周期函数y＝f (x)的图象如图所示， (1)求函数的周期； (2)画出函数y＝f (x＋1)的图象； (3)写出函数y＝f (x)的解析式． 解析：(1)T＝1－(－1)＝2. (2)把y＝f (x)向左平移一个单位得y＝f (x＋1)的图象，即如图所示． (3)y＝＝，x∈[－1，1]，所以y＝|x－2k|，x∈[2k－1，2k＋1]，k∈Z. 　　方法技巧 　　周期函数给出周期的方式除了定义式f (x＋T)＝f (x)以外，还有很多形式．下面给出一些函数周期的常见形式： (1)f (x＋a)＝，周期T＝2a. (2)f (x＋a)＝－f (x)，周期T＝2a. (3)f (x＋a)＝f (x＋b)，周期T＝|a－b|. 即时练3.已知函数y＝f 满足f ＝－f. (1)若当x∈时，f ＝x，求f ，f ，f 的值