第一章 8　三角函数的简单应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§8　三角函数的简单应用 [学习目标]　1.会用三角函数解决一些简单的实际问题．　2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 应用一　三角函数模型在生活中的应用 我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了水车，水车是古代劳动人民发明的灌溉工具，体现了中华民族的创造力．如图是水车示意图，其半径为6 m，中心O距水面3 m，一水斗从水面处的点P0处出发，逆时针匀速旋转，80 s转动一周，经t秒后，水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h. (1)以O为坐标原点，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数； (2)此水斗经过多长时间后再次到达水面？在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是多少？ 解析：(1)依题意，当t＝0时，以x轴非负半轴为始边，OP0为终边的角是－，因80 s转动一周，则水斗转动的角速度为ω＝＝，因此，水斗转动t s到点P时的角为ωt＝t，以x轴非负半轴为始边，OP为终边的角是t－， 于是得点P的纵坐标为6sin， 则h＝6sin＋3， 所以所求函数关系为：h＝6sin＋3(t≥0)． (2)由(1)令h＝6sin＋3＝0，即sin＝－，当再次到达水面时，0<t<80，t－∈，解得：t－＝，则有t＝ s，即此水斗经过 s后再次到达水面， 在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是80－＝(s)． 　　方法技巧 　　解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行： (1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论． (2)建立三角函数模型，将实际问题数学化． (3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解． (4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解． (5)将所得结论返回，转译成实际问题的答案． 即时练1.(2023·湖南怀化高一期末)如图，某公园摩天轮的半径为40 m，圆心O距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距离地面最近处． (1)已知在t(min)时点P距离地面的高度为f (t)＝Asin(ωt＋φ)＋h(A＞0，ω＞0，|φ|≤)，求t＝23时，点P距离地面的高度； (2)当离地面(50＋20)m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌． 解析：(1)依题意知，A＝40，h＝50，T＝3，由T＝＝3，解得ω＝，所以f (t)＝40sin＋50.因为f (0)＝10，所以sin φ＝－1，又|φ|≤，所以φ＝－.所以f (t)＝40sin＋50＝50－40cost(t≥0)，所以f (23)＝50－40cos＝50－40cos＝50＋40cos＝70，即t＝23时点P距离地面的高度为70 m． (2)令f (t)＞50＋20，即cost＜－，解得2kπ＋＜t＜2kπ＋(k∈N*)，即3k＋＜t＜3k＋(k∈N*)，又－＝＝0.5，所以转一圈中在点P处有0.5 min的时间可以看到公园的全貌． 学生用书↓第45页 应用二　三角函数模型在物理中的应用 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝6sin. (1)画出它的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t＝0)时，与平衡位置的距离是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大位移是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解析：(1)周期T＝＝1(s)． 列表： 2πt＋ π 2π t 0 1 6sin 3 6 0 －6 0 3 描点画图： (2)①小球开始摆动(即t＝0)时，与平衡位置的距离为3 cm． ②小球摆动时离开平衡位置的最大位移是6 cm． ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)． 　　方法技巧 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中读图、识图、用图是数形结合的有效途径． 即时练2.如图，弹簧挂着一个小球做上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定：h＝2sin，t∈，φ∈.已知当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在t＝0秒时h的值为(　　) A．－2 B.2 C．－ D． D　[因为当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故×2＋φ＝π＋2kπ，，即φ＝＋2kπ，又φ∈，故φ＝，故h＝2sin，故当t＝0时，h＝2sin＝.故选D．] 应用三　三角函数模型的拟合 某“花式风筝冲浪”集训队在海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t