第一章 7.3　正切函数的图象与性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

7.3　正切函数的图象与性质 [学习目标]　1.能画出y＝tan x的图象．　2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性．　3.能利用正切函数的图象与性质解决简单问题． 知识点一　正切函数的图象 函数y＝sin x，y＝cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，图象都夹在直线y＝±1之间．类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质，y＝tan x是周期函数吗？它的图象是连续的吗？有最大(小)值吗？ 提示：y＝tan x是周期函数，且T＝π，正切函数的图象在定义域上不是连续的，无最大、最小值． 正切函数的图象 1．正切函数的图象称作正切曲线，正切曲线各支的渐近线方程为x＝＋kπ(k∈Z)． 2．正切函数的图象： [微提醒] (1)图象在x轴上方的部分下凹；在x轴下方的部分上凸． (2)图象被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开，图象无限接近这些直线，但永不相交． (3)正切函数不是轴对称图形，没有对称轴． 学生用书↓第40页 如图所示的图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　) A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③ D　[y＝|tan x|≥0，其图象在x轴及其上方，只有图象a符合，即a对应①，易知y＝tan x在内的图象为图象b，即b对应②，故排除B，C选项．y＝tan(－x)＝－tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③，故排除A选项．故选D．] 　　方法技巧 解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法 1．作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案． 2．性质法：研究相关函数的性质，排除相关选项，从而确定正确答案． 即时练1.观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围： (1)tan x>0；(2)tan x＝0；(3)tan x<0. 解析：作正切函数y＝tan x的图象如下： 观察图象可知： (1)当kπ<x<＋kπ，k∈Z时，图象位于x轴上方，即tan x>0，所以tan x>0的解集为 . (2)x＝kπ，k∈Z为函数图象的零点，即tan x＝0， 所以tan x＝0的解集为{x|x＝kπ，k∈Z}． (3)当－＋kπ<x<kπ，k∈Z时，图象位于x轴下方，即tan x<0，所以tan x<0的解集为. 知识点二　正切函数的性质 请回答以下问题： 1．观察正切函数的图象，正切函数是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ 提示：不是轴对称图形，是中心对称图形． 2．观察正切函数的图象，你能写出正切函数的单调区间吗？能说正切函数在定义域内是增函数吗？是奇函数还是偶函数？ 提示：正切函数在每一个开区间(k∈Z)上都单调递增，但在定义域内图象是不连续的，所以在定义域内不是增函数．是奇函数． 正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期是π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间(k∈Z)上单调递增 对称性 正切曲线是中心对称图形，其对称中心是(k∈Z) [微提醒]　(1)正切函数在每一个区间(k∈Z)上单调递增，但不能说正切函数在整个定义域内单调递增． (2)正切曲线的对称中心不一定在正切曲线上． (3)正切函数没有最大值、最小值． 学生用书↓第41页 (1)求函数y＝tan 2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间内的图象． (2)设函数f＝tan，作出函数f在一个周期内的简图并求函数f (x)的最小正周期、对称中心和单调区间． 解析：(1)要使函数y＝tan 2x有意义，则2x≠＋kπ，k∈Z，即x≠＋，k∈Z，所以函数y＝tan 2x的定义域为. 设t＝2x，由x≠＋，k∈Z知t≠＋kπ，k∈Z， 所以y＝tan t的值域为，即y＝tan 2x的值域为. 由tan 2＝tan＝tan 2x，所以y＝tan 2x的周期为. 函数y＝tan 2x在区间内的图象如下图所示： (2)函数在一个周期内的函数图象为(画法略)： f＝tan的周期为T＝＝2π． 令－＝，k∈Z，解得x＝π＋kπ，k∈Z，故对称中心为. 由kπ－<－<kπ＋，k∈Z， 解得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， 所以函数f＝tan的单调增区间为，k∈Z. 　　方法技巧 解答正切函数图象与性质问题的注意点 1．对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴． 2．单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增． 3．在判断函数f (x)＝tan(ω<0)的单调性或求单调区间时，要注意首先利用诱导公式把x的系数化为正数．