第一章 7.1　正切函数的定义　7.2　正切函数的诱导公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§7　正切函数 7．1　正切函数的定义　7.2　正切函数的诱导公式 [学习目标]　1.理解任意角的正切函数的定义．　2.掌握正切函数诱导公式的推导及应用． 知识点一　正切函数的定义 设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，写出sin α，cos α的值，那么何时有意义？tan α与sin α，cos α有怎样的关系？ 提示：sin α＝b，cos α＝a；当a≠0时，有意义．tan α＝＝，α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)． 正切函数 根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan_x，其中定义域为 ． [微提醒] (1)若角α的终边上任取一点Q(x0，y0)(x0≠0)，则tan α＝. (2)特殊角的正切值： α 0 tan α 0 1 － －1 － 已知第一象限角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(5，m)，且cos α＝.求tan α的值． 解析：由题意|OP|＝，则cos α＝ ＝，解得m＝±12，因为α为第一象限角，则m＞0，故m＝12，所以tan α＝＝. 　　方法技巧 1．已知角α终边上任一点的坐标(m，n)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标时，都应紧扣正切函数的定义求解． 2．其值与该点的位置无关，且tan α＝.但要注意判断角α 所在象限． 即时练1.若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________． 解析：由正切函数的定义得，＝， 解得m＝－. 答案：－ 即时练2.已知角α的终边与单位圆的交点为A，则sin αtan α＝________． 解析：由题意＋y2＝1，y＝±，当y＝时，sin α＝，tan α＝－，sin αtan α＝－；当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，sin αtan α＝－，综上，sin αtan α＝－. 答案：－ 学生用书↓第38页 知识点二　正切函数的诱导公式 请回答以下问题： 1．根据正切函数定义，由正弦函数、余弦函数的诱导公式，对任意整数k，有tan(x＋kπ)＝＝ 即tan(x＋kπ)＝tan x(x∈R，x≠kπ＋，k∈Z)，你能得到什么结论呢？类比上述方法你能得到正切函数的奇偶性吗？ 提示：正切函数是周期函数，且最小正周期为π；由tan(－x)＝＝－tan x可以得到正切函数为奇函数． 2．根据正切函数定义，以及正弦函数、余弦函数相应的诱导公式，当－<α<，推导角α与角π＋α，＋α的正切值有什么关系？ 提示：tan(π＋α)＝＝＝tan α，tan＝＝＝－. 正切函数的诱导公式 tan(x＋kπ)＝tan_x(k∈Z)； tan(－x)＝－tan_x； tan(x＋π)＝tan_x； tan(π－x)＝－tan_x； tan＝－； tan＝． [微提醒] (1)诱导公式的记忆方法：函数名不变，符号看象限(把x看作锐角时原函数值的符号)． (2)公式中的x≠kπ＋(k∈Z)且在tan＝－与tan＝中x≠kπ(k∈Z)． 求下列各式的值： (1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2). 解析：(1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2. (2)原式＝ ＝＝＝2＋. 　　方法技巧 1．熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键． 2．无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值． 即时练3.(多选)下列式子中，结果为－的是(　　) A．tan B．tan(－420°) C．tan D．tan 1 110° ABC　[tan ＝tan(4π－)＝tan(－)＝－tan ＝－，A正确； tan(－420°)＝tan(－360°－60°)＝tan(－60°)＝－tan 60°＝－，B正确； tan ＝tan＝tan ＝tan(π－)＝－tan ＝－，C正确； tan 1 110°＝tan(3×360°＋30°)＝tan 30°＝， D错误．故选ABC．] 正切函数定义与诱导公式的综合应用 已知角α的终边经过点P. (1)求tan α的值； (2)求·的值． 解析：(1)由题意得，tan α＝＝＝－. (2)原式＝·＝＝＝.又cos α＝－，故所求式子的值为－. 学生用书↓第39页 　　方法技巧 在利用正切函数的定义和诱导公式解决问题时，需要注意正切函数的定义域，以及正切函数诱导公式成立的条件． 即时练4.(2023·北京期中)已知角α的终边经过点，将角α的终边绕原点O顺时针旋转得到角β的终边，则tan β＝_