第一章 6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§6　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象 6．1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 [学习目标]　1.结合具体实例，了解y＝sin ωx的实际意义．　2.能借助图象了解参数ω的意义．　3.了解参数ω对函数图象的影响． 知识点一　函数y＝sin ωx的图象与性质 请回答以下问题： 1．如何用“五点法”画出函数y＝sin 2x和y＝sinx一个周期上的图象？ 提示：(1)列表，函数y＝sin 2x在一个周期上的五个关键点： 2x 0 π 2π x 0 π y＝sin 2x 0 1 0 －1 0 画出函数y＝sin 2x在一个周期[0，π]上的图象，如图： (2)列表，函数y＝sinx在一个周期上的五个关键点： x 0 π 2π x 0 3π 6π y＝sinx 0 1 0 －1 0 画出函数y＝sinx在一个周期[0，6π]上的图象，如图： 2．观察上述图象，如何研究函数y＝sin 2x和y＝sin x在x∈R上的性质？ 提示：都是周期函数，且y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别为π和6π；图象都夹在平行线y＝±1之间，所以值域为[－1，1]；y＝sin 2x的递增区间为，递减区间为(k∈Z)；函数y＝sin x的递增区间为，递减区间为(k∈Z)． y＝sin ωx的图象与性质 解析式 y＝sin ωx(ω>0) 图象 周期 T＝ 单调性 在区间，k∈Z上单调递增， 在区间，k∈Z上单调递减 学生用书↓第29页 最值与值域 当x＝－，k∈Z时，ymin＝－1， 当x＝＋，k∈Z时，ymax＝1， 值域为[－1，1] 奇偶性 奇函数 对称轴 图象关于x＝＋，k∈Z对称 对称 中心 图象关于点，k∈Z对称 函数y＝sin x，x∈R是(　　) A．最小正周期为4π的奇函数 B.最小正周期为4π的偶函数 C．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为2π的偶函数 A　[设y＝f (x)＝sin x，则f (－x)＝sin ＝－sin x＝－f (x)，故函数y＝sin x，x∈R是奇函数，又最小正周期T＝＝4π，故函数y＝sin x，x∈R是最小正周期为4π的奇函数．故选A．] 用五点法作函数y＝sin x的简图，并指出这个函数的周期． 解析：①列表： x 0 π 2π x 0 2π 4π 6π 8π y 0 1 0 －1 0 ②描点；③连线：用光滑曲线顺次连接，所得图象如图所示．周期T＝8π． 　　方法技巧 五点法作图中的两种列表方法 1．分别令ωx＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想． 2．取ωx0＝0，得x0＝0，由五点中第一个点的横坐标x0，依次递加一个周期的，就可得到其余四个点的横坐标． 即时练1.用五点法作函数y＝sin x的简图． (1)指出这个函数的周期和函数的递增区间； (2)求函数y＝sin x在区间上的最值． 解析：(1)①列表： x 0 π 2π x 0 3π 6π 9π 12π y 0 1 0 －1 0 ②描点；③连线：用光滑曲线顺次连接，所得图象如图所示． 周期T＝12π．递增区间为： (k∈Z)． (2)因为x∈，所以∈，所以函数y＝sin x在[π，2π]上单调递增，所以函数y＝sinx的最大值为，最小值为. 知识点二　y＝sin x图象的伸缩变换 分析函数y＝sin 2x和y＝sin x图象与正弦函数y＝sin x图象间的关系，其图象如何由正弦函数y＝sin x的图象变换得到？ 提示：从图象看出，y＝sin x y＝sin 2x， y＝sin xy＝sin x. 1．函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的(纵坐标不变)得到的． 2．周期的倒数＝为频率． 为了得到y＝sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的(　　) A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 学生用书↓第30页 B　[ω＝4>1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．故选B.] 　　方法技巧 由y＝sin x到y＝sin ωx的图象变换方法 (周期变换)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin ωx的图象. 即时练2.将函数y＝sin x图象上所有