第一章 5.2　余弦函数的图象与性质再认识-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

5.2　余弦函数的图象与性质再认识 [学习目标]　1.能利用正弦函数的图象或五点(画图)法画余弦函数的图象．　2.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．　3.借助图象理解余弦函数在[0，2π]上的性质． 知识点一　余弦函数的图象 请回答以下问题： 1．类比函数y＝sin x，x∈[0，2π]的简图，你在作函数y＝cos x，x∈[0，2π]的简图应抓住哪些关键点？ 提示：根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用光滑的曲线连接即可．在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．根据函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，你能想象函数y＝cos x，x∈R的图象吗？ 提示：将函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象． 余弦函数的图象 根据余弦曲线的基本性质，描出(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)后，函数y＝cos x在区间x∈[0，2π]的图象就基本确定了(如图)．因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图．这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”． 作出函数y＝－2cos x，x∈[0，2π]的大致图象，并分别写出使y>0和y<0的x的取值范围． 解析：由五点作图法列表如下： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 y＝－2cos x －2 ＋2 －2 描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－2)，，(π，＋2)，，(2π，－2)． 连线：用光滑曲线将描出的五个点顺次连接起来，就作出了函数大致图象，如图所示： 令y＝0，即－2cos x＝0，所以cos x＝，又x∈[0，2π]，所以x＝或，结合图象可知：当x∈时，y>0；当x∈∪时，y<0. 学生用书↓第26页 　　方法技巧 “五点法”画函数图象的三个步骤 即时练1.利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0，2π]的x的区间是________________． 解析：画出y＝cos x，x∈[0，2π]的图象如图所示： 满足cos x>0，x∈[0，2π]的区间为∪. 答案：∪ 即时练2.用“五点法”作函数y＝cos x＋，x∈[－π，π]的图象． 解析：列表： x －π － 0 π cos x －1 0 1 0 －1 cos x＋ － － 描点连线，图象如下． 知识点二　余弦函数的图象与性质再认识 请观察余弦函数y＝cos x的图象(如图)，你能进一步理解余弦函数的性质吗？ 提示：余弦函数y＝cos x，x∈R的定义域为R，值域为，偶函数，在区间(k∈Z)上单调递增，在区间(k∈Z)上单调递减． 余弦函数的图象与性质 　　函数 性质　　 y＝cos x x∈[0，2π]时的图象 x∈R时的图象 定义域 R 周期 2π 单调性 在区间[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z上都单调递增，在区间[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z上都单调递减 续表 　　函数 性质　　 y＝cos x 最值和值域 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，ymin＝－1．值域为[－1，1] 奇偶性 偶函数 对称轴 图象关于直线x＝kπ，k∈Z对称 对称中心 图象关于点，k∈Z对称 [微提醒]　(1)余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称作余弦曲线． (2)同正弦曲线一样，余弦曲线的对称轴过其最高点或最低点，对称中心是其与x轴的交点．注意不要混淆正、余弦曲线的对称轴和对称中心． 利用余弦函数的性质比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)cos ，cos ；(2)cos 515°，cos 530°． 解析：(1)cos ＝cos＝cos＝cos ，cos ＝cos＝cos＝cos . 因为y＝cos x在上单调递减，且0<<<，所以cos >cos ，即cos >cos . (2)cos 515°＝cos(360°＋155°)＝cos 155°，cos 530°＝cos(360°＋170°)＝cos 170°，因为y＝cos x在(0，π)上单调递减，且0°<155°<170°<180°， 所以cos 155°>cos 170°，即cos 515°>cos 530°． 学生用书↓第27页 作出函数y＝－2cos x＋3在一个周期内的图象，并求函数的最大值及取得最大值时x的值． 解析：列表如下： x 0 π 2π cos x