第一章 5.1　正弦函数的图象与性质再认识-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5．1　正弦函数的图象与性质再认识 [学习目标]　1.能借助单位圆或五点作图法画出正弦函数的图象．　2.了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．　3.借助图象理解正弦函数在[0，2π]上的性质． 知识点一　正弦函数的图象与性质再认识 请回答以下问题： 1．借助单位圆，如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？ 提示：如图，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象． 2．根据函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，你能想象函数y＝sin x，x∈R的图象吗？ 提示：将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象． 3．请观察正弦函数的图象(如图)，你能进一步理解正弦函数的性质吗？ 提示：正弦函数y＝sin x，x∈R的定义域为R， 值域为，奇函数，在区间 (k∈Z)上单调递增，在区间(k∈Z)上单调递减． 正弦函数的图象与性质 　　　函数 性质　　　 y＝sin x x∈[0，2π]时的图象 x∈R时的图象 定义域 R 周期 2π 单调性 在每一个区间，k∈Z上都单调递增，在每一个区间，k∈Z上都单调递减 最值和值域 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1．值域为[－1，1] 奇偶性 奇函数 对称轴 图象关于直线x＝＋kπ，k∈Z对称 对称中心 图象关于点(kπ，0)，k∈Z对称 [微提醒]　(1)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象称作正弦曲线． (2)正弦曲线的对称轴经过其最高点或最低点，此时正弦函数取最大值或最小值． (3)正弦曲线的对称中心是其与x轴的交点，此时的正弦函数的值为0. (1)函数f (x)＝5－3sin x在[0，π]上的单调递增区间为(　　) A． B. C． D． (2)sin ，sin ，sin ，从大到小的顺序为________________． 解析：(1)f (x)＝5－3sin x的单调性与y＝sin x的单调性相反，y＝sin x的单调递减区间是，k∈Z，此区间即为f (x)的单调递增区间．又x∈，所以f (x)在上的单调递增区间为.故选B. (2)因为＜＜＜＜π，且函数y＝sin x在上单调递减，所以sin >sin >sin . 答案：(1)B　(2)sin >sin >sin 学生用书↓第23页 　　方法技巧 1.用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 2．求正弦函数的单调区间有两种方法：一是利用y＝sin x的单调区间，进行代换，解不等式；二是画图象，从图象上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来． 即时练1.设函数y＝sin x，下列结论不成立的是(　　) A．f>0 B.－1≤y≤1 C．最小正周期是2π D．f>f D　[对于A，f＝sin＝>0，故正确；对于B，－1≤sin x≤1，故B正确；对于C，正弦函数的最小正周期为2π，故C正确；对于D，由于y＝sin x在上为增函数，f<f，故错误．故选D．] 即时练2.函数y＝2sin x＋1的值域是________． 解析：因为≤x≤π，所以sin x∈，所以2sin x＋1∈[1＋，3]． 答案：[1＋，3] 知识点二　五点(画图)法 在画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的简图时，应抓住哪些关键点？ 提示：根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用光滑的曲线连接即可．今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 五点(画图)法 根据正弦曲线的基本性质，描出(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)这五个关键点后，函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象就基本确定了(如图)．因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图，这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”． [微提醒]　五点(画图)法是一种近似作图法，精确度不高．它是画三角函数简图的常用方法．五个关键点主要指函数图象的平衡点