第一章 4.4　诱导公式与旋转-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

4.4　诱导公式与旋转 [学习目标]　1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．　2.理解诱导公式的推导过程．　3.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简． 知识点一　诱导公式与旋转 观察右图，锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转得到点P′，那么＋α的终边与单位圆的交点P′的坐标如何求？你能根据三角函数的定义探究角α与角＋α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：P′(－v，u)；sin＝cos α，cos＝－sin α. 1．如图，对任意角α，有sin＝cos_α，cos＝－sin_α． 2．如图，对任意角α，有sin＝－cos_α，cos＝sin_α． [微提醒]　±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看±α的函数值的符号．简记为：“函数名改变，符号看象限”． 如图，以Ox为始边作角α与β，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为. (1)求的值； 学生用书↓第20页 (2)若OP⊥OQ，求3sin β－4cos β的值． 解析：(1)由已知得cos α＝－，sin α＝，所以 ＝. (2)由已知得α－β＝，所以α＝＋β，所以cos α＝－sin β，sin α＝cos β， 所以sin β＝，cos β＝，所以3sin β－4cos β＝－＝－. 　　方法技巧 求值问题中角的转化方法 任意负角的三角函数―→任意正角的三角函数―→0～2π的角的三角函数―→,锐角三角函数 即时练1.若cos(α＋π)＝－，则sin等于(　　) A． B.－ C． D．－ A　[因为cos(α＋π)＝－cos α＝－，所以cos α＝，所以sin＝－sin＝sin＝cos α＝.故选A．] 即时练2.(多选)下列与sin θ的值一定相等的是(　　) A．cos B.sin C．cos D．sin CD　[因为cos＝－sin θ，A错误； sin＝cos θ，B错误；cos＝sin θ， C正确；sin＝sin θ，D正确．故选CD．] 知识点二　正弦函数、余弦函数的诱导公式 在平面直角坐标系中，对角α的终边经过对称或旋转得到了诱导公式，那么是否可以用旋转的整数倍来分析诱导公式？ 提示：(1)α＋可以看作角α的终边旋转了； (2) α＋π可以看作角α的终边旋转了的2倍； (3)α－π与α＋π的终边重合，其三角函数值均相等； (4) α＋2kπ可以看作角α的终边旋转了的4k(k∈Z)倍． 对任意角α，下列关系式均成立(其中k∈Z)． α＋2kπ sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos_α －α sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos α α＋π sin(α＋π)＝sin(π＋α)＝－sin_α cos(α＋π)＝cos(π＋α)＝－cos α α－π sin(α－π)＝－sin α，cos(α－π)＝－cos_α π－α sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos α α＋ sin＝sin＝cos_α cos＝cos＝－sin α －α sin＝cos α，cos＝sin_α [微提醒]　诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． 已知角α终边上有一点P，且sin α＝m(m>0)． (1)求m的值，并求cos α的值； (2)化简并求的值． 解析：(1)由sin α＝＝m，m>0，解得m＝.故cos α＝＝－. (2)由(1)可知sin α＝m＝. ＝＝＝－. 学生用书↓第21页 　　方法技巧 　　可以利用诱导公式，将任意角的正弦函数、余弦函数的问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数的问题．一般步骤如下： 任意负角的正弦函数、余弦函数―→任意正角的正弦函数、余弦函数―→0～2π角的正弦函数、余弦函数―→锐角的正弦函数、余弦函数 上述过程可称为“负化正，大化小，化至锐角再求值”，充分体现了化未知为已知的化归思想． 即时练3.化简：等于(　　) A．－sin θ B.sin θ C．cos θ D．－cos θ A　[原式＝＝＝－sin θ.故选A．] 诱导公式的综合应用 已知sin ＝，则cos的值为________． 解析：cos＝cos ＝sin＝. 答案： [变式探究] 1．(变条件，变结论)将本例的条件改为sin＝，求cos的值． 解析：cos＝cos ＝－sin＝－. 2．(变条件，变结论)将本例增加条件“α是第三象限角”，求sin的值． 解析：因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，又sin＝，所以－α是第二象限