第一章 4.3　诱导公式与对称-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

4．3　诱导公式与对称 [学习目标]　1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．　2.理解诱导公式的推导过程．识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征． 知识点一　角α与－α的正弦函数、余弦函数关系 观察右图，角α与－α的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角－α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与－α的终边关于x轴对称，根据三角函数的定义sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 角α与－α的正弦函数、余弦函数关系 终边关系 图示 角－α与角α的终边关于x轴对称 公式 sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，v＝sin α是奇函数，u＝cos α是偶函数 学生用书↓第17页 (1)cos 的值为(　　) A． B.－ C． D．－ (2)sin＝_________． 解析：(1)cos ＝cos ＝cos＝cos＝，故选C． (2)sin＝－sin＝－. 答案：(1)C　(2)－ 　　方法技巧 　　在求负角的正弦、余弦值时，首先利用sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，然后再根据特殊角的三角函数值求值即可． 即时练1.(2023·河南南阳高一期中)sin＝(　　) A． B.－ C． D．－ B　[sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝－sin＝－.故选B.] 即时练2.cos 2 040°＝(　　) A． B.－ C． D．－ B　[cos 2 040°＝cos ＝ cos(－120°)＝cos 120°＝－，故选B.] 知识点二　角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系 观察下图，角α与α±π的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角α±π的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与α±π的终边关于原点对称，根据三角函数的定义推出： sin(α±π)＝－sin α，cos(α±π)＝－cos α. 角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系 终边关系 图示 角α－π与角α的终边关于原点对称，角α＋π与角α的终边关于原点对称 公式 sin(α＋π)＝－sin_α，cos(α＋π)＝－cos_α， sin(α－π)＝－sin α，cos(α－π)＝－cos α 计算：sin·cos. 解析：原式＝sin·cos ＝sin·cos＝sin·cos ＝－sin·cos＝－×＝－. 已知cos ＝，则cos 的值为________． 解析：因为cos ＝，所以cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－. 答案：－ 　　方法技巧 利用公式求任意角三角函数值的步骤 1．“负化正”； 2．“大化小”：用诱导公式将角化为0°到360°间的角； 3．“小化锐”：用诱导公式将大于90°的角转化为锐角； 4．“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 即时练3.(2023·贵州黔东南高一期末)cos 210°的值等于(　　) A． B. C．－ D．－ C　[cos 210°＝cos ＝－cos 30°＝－.故选C．] 即时练4.化简：＝_________． 解析：原式＝＝－cos θ. 答案：－cos θ 学生用书↓第18页 知识点三　角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系 观察下图，角α与π－α的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角π－α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与π－α的终边关于y轴对称，根据三角函数的定义推出： sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系 终边关系 图示 角π－α与角α的终边关于y轴对称 公式 sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α [微提醒]　四组诱导公式的共同特点 －α，α±π，π－α的三角函数值等于α的同名三角函数值，再添上原函数的符号．简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．诱导公式的作用：把任意角转化为锐角． (1)已知cos＝，则cos等于(　　) A．－ B. C． D．－ (2)已知sin＝，则sin的值为________． 解析：(1)cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.故选A． (2)依题意，sin＝sin＝sin＝. 答案：(1)A　(2) 　　方法技巧 　　通过观察已知中的角与所要求的角之间的关系，然后选择适当的诱导公式进行转化，从而得到结果． 即时练5.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，那么sin等于(　　) A． － B. － C． D． A　[根据题意，由三角函数的单位圆定义得：sin α＝y＝－，所以sin＝sin α＝－.故选A．] 即时练6.已知cos＝，求cos的值． 解析：因为cos＝cos＝c