第一章 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 [学习目标]　1.借助单位圆理解正弦、余弦函数的关系．　2.掌握任意角的正弦、余弦的定义． 知识点一　任意角的正弦函数和余弦函数 如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(u，v)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦的定义，能否用点P的坐标表示sin α，cos α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ 提示：当α为锐角时，cos α＝u，sin α＝v，这一结论能推广到α为任意角的情形． 1．单位圆中锐角的正弦函数、余弦函数的定义 对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，过点P向x轴作垂线，垂足为M.在Rt△OMP中，OP＝1，OM＝u，MP＝v，有sin α＝＝＝v，cos α＝＝＝u． 由此可知，对于锐角α来说，点P的纵坐标v是该角的正弦值，点P的横坐标u是该角的余弦值． 对于每一个锐角α，都有唯一的坐标(u，v)与之对应，在弧度意义下，α∈，称v＝sin_α为锐角α的正弦函数，u＝cos_α为锐角α的余弦函数． 2．单位圆中的任意角的正弦函数和余弦函数的定义 给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的．仿照上述锐角三角函数的定义，把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，把点P的横坐标u叫作角α的余弦值，于是，在弧度意义下，对于α∈R，称v＝sin α为任意角α的正弦函数，u＝cos α为任意角α的余弦函数． 在平面直角坐标系的单位圆中，α＝. (1)画出角α； (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值． 解析：(1)因为α＝＝2π＋，所以角α的终边与角的终边相同． 以原点为角的顶点，以x轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角α如图所示． (2)由(1)知，点P在第二象限，且在角的终边上，所以点P的坐标为. (3)由(2)及正、余弦函数的定义可得sin ＝，cos ＝－. 　　方法技巧 三角函数定义的应用 1．首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解． 2．在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，应分两种情况处理． 即时练1.在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin α·cos β＝(　　) A．－ B.－ C． D． B　[由题意，角α，β的终边与单位圆分别交于点和，由三角函数的定义，可得sin α＝，cos β＝－，所以sin α·cos β＝×＝－.故选B.] 学生用书↓第11页 知识点二　任意角的终边上任一点的正弦函数、余弦函数的定义 已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，如何求sin α，cos α？ 提示：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情形． 如图，设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标为(cos α，sin α)，且OP＝1. 点Q(x，y)在角α的终边上，则OQ＝. 分别过点P，Q作x轴的垂线PM，QN，垂足为M，N.易知△POM∽△QON. 所以＝，即＝. 因为点P和点Q在同一象限，所以sin α和y的符号相同，于是得到sin α＝. 同理，cos α＝. 当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立． 1．任意角的终边上任一点的正弦和余弦函数的定义 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝，cos α＝，其中r＝. [微提醒]　(1)对任意一个给定的角α，它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆只有唯一的交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的． (2)根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到sin2α＋cos2α＝1. 2．特殊角的正弦函数值、余弦函数值 α 0 v＝sin α 0 1 u＝cos α 1 0 － － α π 2π v＝sin α 0 － － －1 － － 0 u＝cos α －1 － － 0 1 (多选)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝－ ，则x的值为(　　) A．－ B.－1 C．1 D． BC　[|OP|＝，因为sin α＝＝＝－ ，解得x2＝1，所以x＝±1.故选BC．] [变式探究] (变条件)在本例中，将“sin α＝－”改为“cos α＝－”，求x的值． 解析：|OP|＝，因为cos α＝＝＝－，解得x2＝1，又x<0，所以x＝－1. 　　方法技巧 已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 1．在角α的终边上任选一点P(x，y)，求出点P到原