第一章 3　弧度制-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§3　弧度制 [学习目标]　1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化．　2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式． 知识点一　弧度概念 请回答以下问题： 1．我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？ 提示：不能，比如30°2′11′′，这种表示不能与实数建立一一对应的关系，也不利于三角函数的求值．为了能把角和实数建立联系，形成了弧度制． 2．能否用线段的单位长度来建立角的度量单位，从而把几何度量都建立在一个共同的基础(长度的度量)上呢？ 提示：以角的顶点为圆心画单位圆(半径为单位长度1的圆)，用这个角在此圆上所对应的弧的长度来度量这个角． 1．弧度制 我们规定：在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，其单位用符号rad表示，读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写)．在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数．这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 2．一般地，弧度与实数一一对应．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 3．角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么|α|＝. [微提醒]　角的正负由角的终边的旋转方向决定． 下列各命题中，真命题是(　　) A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧 C．1弧度是1°的弧与1°的角之和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 D　[根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确．故选D．] 学生用书↓第8页 　　方法技巧 1.圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的． 2．任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． 即时练1.下列说法正确的是(　　) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 A　[对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误．故选A．] 知识点二　弧度与角度的换算 角可以分别用角度和弧度度量，根据公式|α|＝，你能得出圆周角的弧度数吗？ 提示：因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系． 1．常见角度与弧度互化公式 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57°18′ 2.一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系 角度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π [微提醒]　(1)弧度单位rad可以省略． (2)角度制与弧度制是两种不同的度量角的方式，二者不能混用，如α＝k·360°＋(k∈Z)，这种写法是错误的． 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－. 解析：(1)72°＝72×＝. (2)－300°＝－300×＝－. (3)2＝2×＝. (4)－＝－×＝－40°． 角度与弧度的互化技巧 　　方法技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．一般情况下，省略弧度单位rad． 即时练2.(多选)下列结论正确的是(　　) A．－150°化成弧度是－ rad B.－ rad化成度是－600° C．67°30′化成弧度是 rad D． rad化成度是15° BCD　[对于A，－150°＝－150×＝－，A错误；对于B，－＝×＝－600°，B正确；对于C，67°30′＝67.5×＝，C正确；对于D，＝×＝15°，D正确．故选BCD．] 学生用书↓第9页 扇形的弧长和面积的综合应用 (2023·江西赣州期末)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为L. (1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 解析：(1)由题意得 解得(舍去)或所以扇形圆心角为. (2)由已知得，L＋2R＝20. 所以S＝LR＝R＝10R－R2＝－2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25，×α×R2＝25，解