第六章 培优增分8 空间几何体的折叠问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

培优增分8 空间几何体的折叠问题 　 第六章 立体几何初步 将平面图形沿某直线折起构成一个空间图形，并对其中有关元素翻折前后的位置关系及数量关系进行论证或计算的问题，称为平面图形的翻折(或折叠)问题，平面图形翻折问题是空间几何体中的常见题型，它能较好地考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力，解答这类问题时，关键是要搞清楚翻折前后图形中哪些元素的位置和数量关系发生了变化，再利用有关知识进行解答． 例1 一、与矩形有关的折叠问题 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.点O是线段AM的中点． (1)求证：平面BDO⊥平面ABCM； 在矩形ABCD中，因为AB＝2AD，M为CD的中点，所以AD＝DM，因为O是AM的中点，所以DO⊥AM，因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，所以OD⊥平面ABCM，因为DO⊂平面BDO，所以平面BDO⊥平面ABCM. (2)求证：AD⊥BM. 因为DO∩AM＝O，DO⊂平面ADM，AM⊂平面ADM，所以BM⊥平面ADM， 又因为AD⊂平面ADM，所以AD⊥BM. 对于矩形的折叠，常常是将具有一定长和宽的矩形沿对角线或矩形中与已知直线垂直的直线进行折叠，垂直关系将保持不变，折叠后可以得到面面垂直或线面垂直． 方法技巧 即时练1.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点P的位置，PB＝ . (1)证明：平面PAB⊥平面ABC； 证明：因为BC＝1，PC＝2，PB＝ ， 所以BC2＋PB2＝PC2，所以BC⊥PB， 因为BC⊥AB，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB， 因为BC⊂平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC. (2)求异面直线PC与AB所成角的余弦值． 由(1)得BC⊥平面PAB， 所以PA⊥PB，根据题意可作长方体如图： 设直线PC与QC所成角为θ， 设直线PC与QC所成角为θ， 例2 二、与三角形有关的折叠问题 如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝2，D，E分别是AC，BC上的点，且满足DE∥AB．将△CDE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥P-ABED. (1)若D为AC的中点，平面PDE⊥平面ABED，求四棱锥P-ABED的体积； 由题意得DE⊥AC，DE⊥DP. 因为平面PDE⊥平面ABED，PD⊂平面PDE，平面PDE∩平面ABED＝DE， (2)设平面ABP∩平面DEP＝l，证明：l⊥平面ADP. 证明：因为DE∥AB，DE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以DE∥平面PAB． 因为DE⊂平面PDE，平面PDE∩平面PAB＝l，所以DE∥l. 由图1，DE⊥AC，得DE⊥DA，DE⊥DP，所以l⊥DA，l⊥DP. 因为DA⊂平面ADP，DP⊂平面ADP，DA∩DP＝D，所以l⊥平面ADP. 与三角形有关的折叠问题通常是沿着与三角形一边垂直的直线进行折叠，折叠后会出现面面垂直，然后再利用面面垂直解决问题． 方法技巧 即时练2.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2. (1)求证：BC∥平面A1DE； 证明：因为DE∥BC，BC⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以BC∥平面A1DE. (2)求证：BC⊥平面A1DC； 证明：因为DE∥BC，∠C＝90°，所以AD⊥DE，所以A1D⊥DE，又DE∥BC，所以A1D⊥BC， 因为BC⊥CD，A1D∩CD＝D，A1D，CD⊂平面A1DC，所以BC⊥平面A1DC. (3)当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值． 设DC＝x，则A1D＝6－x， 由(2)知：△A1CB，△A1DC均为直角三角形． 例3 三、与梯形有关的折叠问题 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC的中点．将△ABD沿BD折起，使AB⊥AC，连接AE，AC，DE，得到三棱锥A-BCD. (1)求证：CD⊥平面ABD； 证明：由于AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD. 由于CD⊂平面ACD，所以AB⊥CD. 由于BD⊥CD，AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD. 如图，分别取BD，AD的中点F，G，连接EF，FG，GE， 由于E，F分别是BC，BD的中点，所以EF∥CD， 由于CD⊥平面ABD，所以EF⊥平面ABD， 由于AD，FG⊂平面ABD，所以EF⊥AD，