第六章 培优增分7 球的切、接问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

培优增分7 球的切、接问题 　 第六章 立体几何初步 几何体外接球和内切球问题是常考的内容之一，也是难点之一，尤其是几何体外接球问题．从题型上看，主要以选择题或填空题为主；从难易程度上看，属于中、低档难度的问题．重点考查空间想象能力、转化的思想方法和直观想象核心素养；解答这类问题的基本思路是根据问题给出的条件，求出球的半径，然后运用球的体积(或表面积)公式通过运算就可得出结果． 一、长(正)方体的外接球 (2023·陕西西安期末)长方体的三个相邻面的面积分别是8，8，16，则该长方体外接球的体积为 A．24π B．32π C．36π D．48π √ 例1 1．长方体或正方体的外接球的球心在其体对角线的中点处． 2．正方体的棱长为a，其外接球的半径为R，则2R＝ 3．长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，其外接球的半径为R，则2R＝ 方法技巧 即时练1.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A．16π B．20π C．24π D．32π 设正四棱柱底面正方形的的边长为a，则V＝a2h＝16，解得a＝2，又4R2＝a2＋a2＋h2＝4＋4＋16＝24，所以S＝24π．故选C． √ 即时练2.体积为8 cm3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________cm2. 12π 例2 二、墙角模型(三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径) (1)已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，且AB⊥平面BCD，AB＝BD＝CD＝2，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为 √ (2)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6，4，3，那么它的外接球的表面积是________． 由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a，b，c，则 S＝4πR2＝29π． 29π 棱锥(三条线两两垂直) 1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都可构造正方体． 2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥可构造长方体或正方体． 方法技巧 3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体． 4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体． 方法技巧 即时练3.在四面体S -ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，SA＝AC＝2，AB＝1，则该四面体的外接球的表面积为 √ 即时练4.如图：在正三棱锥S -ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA＝ 则正三棱锥S -ABC外接球的表面积是______． 因为AM⊥MN，SB∥MN，所以AM⊥SB，因为AC⊥SB，AC∩AM＝A，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，因为SB⊥SA，BC⊥SA，SB∩BC＝B，所以SA⊥平面SBC，所以SA⊥SC， 故三棱锥S -ABC的三条侧棱两两互相垂直， 所以正三棱锥S -ABC外接球的表面积是36π． 36π 例3 三、对棱相等模型(补形为长方体) (1)已知正四面体S -ABC外接球的表面积为6π，则正四面体S -ABC的体积为 √ (2)如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB＝CD＝5，AC＝BD＝6，AD＝BC＝7，则该三棱锥外接球的表面积为________． 对棱相等，补形为长方体，如图，设长，宽，高分别为a，b，c，2(a2＋b2＋c2)＝25＋36＋49＝110，a2＋b2＋c2＝55，4R2＝55，S＝55π． 55π 三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD)的一般步骤 (1)画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； (2)设出长方体的长，宽，高分别为a，b，c，AD＝BC＝x，AB＝CD＝y，AC＝BD＝z，列方程组， 方法技巧 即时练5.(2023·四川泸州期末)2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A，B，C，P满足PA＝BC＝5，PB＝AC＝ ，PC＝AB＝ 则该足球的表面积为 A．12π B．8π C．24π D．28π √ 因为PA＝BC，PB＝AC，PC＝AB，所以可以把A，B，C，P四点放到长方体的四个顶点上，将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示： 四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球) √ 例4 A．40π B．32π C．10π D．48π (2)已知某圆台的体积为 其上底面