第五章 1.2　复数的几何意义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

1.2　复数的几何意义 　 第 五 章 1　复数的概念及其几何意义 学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．　 2.掌握模、共轭复数等概念以及其几何意义．　 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 随 堂 演 练 知识点二　复数的模 知识点三　共轭复数 综 合 应 用 知识点一　复数的几何意义 课 时 精 练 内 容 索 引 知识点一　复数的几何意义 索引 问题导思 请回答以下问题： 1．在平面直角坐标系中，点的坐标与有序实数对一一对应，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都有它的实部与虚部唯一确定，那么复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 提示：复数可以和坐标平面上的点一一对应． 2．在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．我们能不能用平面向量来表示 复数？ 提示：可以的，向量的坐标运算中，向量就与有序实数对一一对应；所以能用平面向量来表示复数． 新知形成 1．复平面 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用点Z(a，b)表示．这个通过建立________________来表示复数的平面称为复平面． 实轴：_____称为实轴． 虚轴：_____称为虚轴． 平面直角坐标系 x轴 y轴 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的， 即复数z＝a＋bi 复平面内的点Z________． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量 ＝______也是一一对应的， 即复数z＝a＋bi 平面向量_____． 一一对应 一一对应 (a，b) (a，b) (1)复数的实质是有序实数对． (2)复数z＝a＋bi，复平面内的点Z(a，b)和平面向量 之间的关系如图所示． 微提醒 例1 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点： (1)在虚轴上；求实数m的取值范围． 复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10. 由题意得m2－2m－8＝0， 解得m＝－2或m＝4. (2)在第二象限；求实数m的取值范围． (3)在第二、四象限；求实数m的取值范围． 由题意得(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0， 所以2<m<4或－5<m<－2. (4)在直线y＝x上．求实数m的取值范围． 利用复数与点的对应关系解题的步骤 1．找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据； 2．列出方程：此类问题可根据复数的实部与虚部应满足的条件列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 方法技巧 即时练1.已知O为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量 ＝(－1，2)，则点M对应的复数为 A．1＋2i B．－1＋2i C．2－i D．2＋i √ 索引 即时练2.若复数a2－4＋(a＋2)i(a∈R)为纯虚数，则复数z＝4－ai在复平面所对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第一或第四象限 因为复数a2－4＋(a＋2)i(a∈R)是纯虚数，所以实部a2－4＝0①，虚部a＋2≠0②，由①②解得a＝2.故z＝4－ai对应的点为(4，－2)，位于第四象限．故选C． √ 知识点二　复数的模 索引 问题导思 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与平面向量 ＝(a，b)一一对应，那么你能计算复数z的模吗？ 新知形成 1．定义：向量 的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的____． 2．记法：复数z＝a＋bi的模记作_______或___________． 3．公式：|z|＝|a＋bi|＝_________． 模 |z| |a＋bi| 虽然两个复数一般不能比较大小，但它们的模是非负实数，可以比较大小． 微提醒 例2 设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形． (1)|z|＝3； |z|＝3说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为3，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆． (2)1≤|z|≤2. 不等式|z|≤2的解集是以原点O为圆心，以2为半径的圆及该圆内部所有点的集合． 不等式|z|≥1的解集是以原点O为圆心，以1为半径的圆及该圆外部所有点的集合．如图所示． 复数模的计算 1．计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，