第二章 2．1　向量的加法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

2．1　向量的加法 　 第 二 章 §2　从位移的合成到向量的加减法 学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．　 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则做两个向量的加法运算．　 3.了解向量加法的运算律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性． 课 时 精 练 知识点二　向量加法的运算律 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　向量加法的定义 内 容 索 引 知识点一　向量加法的定义 索引 问题导思 提示：如图所示． 2．假如家住石家庄的张先生准备去北京出差，他乘飞机先从石家庄到天津，再乘火车从天津到北京，则张先生的位移是多少？ 提示：如图所示． 新知形成 1．向量加法的定义：求____________的运算，称为向量的加法． 两个向量和 平行四边形法则 4．由向量加法的定义可知，互为相反向量的两个向量的和为零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. 5．平面向量加法的三角不等式 在||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当且仅当a与b同向或反向时取等号． 三角形法则 (1)用平行四边形法则作a＋b必须使两个向量起点相同． (2)用三角形法则求和必须使两个向量首尾相接(即前一个向量的终点与后一个向量的起点重合)，和向量的方向是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，简述为“加向量，首尾连；和向量，起点到 终点”． (3)向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则本质相同，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半． 微提醒 例1 如图，已知向量a，b，c，分别用三角形法则与平行四边形法则，求作向量a＋b＋c. 三角形法则：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c. 1.应用三角形法则求向量和的基本步骤 (1)平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合； (2)以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． 2．应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 (1)平移两个不共线的向量使之共起点； (2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形； (3)平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． 方法技巧 即时练1.如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量． 0 即时练2.如图，已知向量a，b，求作向量a＋b. 索引 知识点二　向量加法的运算律 索引 问题导思 请回答以下问题： 1．实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？ 提示：满足，如图，检验如下： 所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 2．实数的加法运算满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？ 提示：满足，如图，检验如下： 新知形成 向量加法的运算律 1．结合律：(a＋b)＋c＝a＋______． 2．交换律：a＋b＝_______． 特别地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝a＋0＝a. (b＋c) b＋a (1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立． (2)因为向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行． 微提醒 例2 化简： 向量加法运算律的应用原则及注意点 1．应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 2．注意点 (1)三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”； (2)向量的和仍是向量； (3)利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的． 方法技巧 索引 即时练3.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： 综　合　应　用 索引 例3 向量加法的实际应用 一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对 位置． 如图所示， 应用向量解决实际问题的基本步骤 第一步(表示)：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题； 第二步(运算)：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题； 第三步(还原)：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 方法技巧 即时练4.在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2 km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和