第一章 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 　 第 一 章 §4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 学习目标 1.理解正弦函数值、余弦函数值的符号．　 2.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质．　 3.能利用正弦函数、余弦函数的基本性质解决问题． 课 时 精 练 知识点二　正弦函数值和余弦函数值的符号 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　正弦函数、余弦函数的基本性质 内 容 索 引 知识点一　正弦函数、余弦函数的基本性质 索引 问题导思 请回答以下问题： 过山车是一种具有刺激性的娱乐项目．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转，几个循环路径． 1．正弦函数与余弦函数也像过山车一样“爬升”、“滑落”，这是正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 提示：单调性． 2．过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 提示：过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，对应正弦函数、余弦函数的最大值和最小值． 新知形成 正弦函数、余弦函数的基本性质 R [－1，1] 2kπ (2k＋1)π 2π 　　函数 性质　　 v＝sin α u＝cos α 单调性   在每一个区间__________________ (k∈Z)上都单调递增，在每一个   区间____________________(k∈Z)上都单调递减   在每一个区间________________(k∈Z)上都单调递增，  在每一个区间_________________(k∈Z)上都单调递减 [(2k－1)π，2kπ] [2kπ，(2k＋1)π] (1)正、余弦函数的单调区间的长度都是π，但它们的周期都是2π，因此单调区间的长度是周期的一半． (2)正、余弦函数不是定义域上的单调函数． (3)终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等，即对任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，α∈R. 微提醒 例1-1 角度1　周期性与单调性 sin 405°－sin 450°－cos 765°＝____． －1 例1-2 1.利用正弦函数、余弦函数的周期性求值的方法 正弦函数、余弦函数的最小正周期都是2π，从而2kπ(k∈Z，k≠0)都是它们的周期，即sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，k∈Z.先借助正弦函数、余弦函数的周期性，把已知角转化为[0，2π)范围内的角，然后求值，熟记特殊角的三角函数值是解题的基础． 2.判断正弦函数、余弦函数在给定具体区间内的单调性时，要在全部单调区间的前提下，对k取特殊值后，与该给定区间求交集，即为所求单调区间，要注意不能遗漏． 方法技巧 √ 例2 1.利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并． 2．求解函数的值域时要注意函数的定义域，并注意定义域区间端点的取值． 方法技巧 索引 知识点二　正弦函数值和余弦函数值的符号 索引 问题导思 根据三角函数的定义，大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号． 提示：三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号导出的．根据三角函数的定义可知(u＝cos α，v＝sin α)，正弦的符号取决于纵坐标v的符号，余弦的符号取决于横坐标u的符号． 新知形成 根据正弦函数、余弦函数的定义和各象限内点的横、纵坐标的符号，可以得到正弦函数值、余弦函数值在每个象限的符号，如图所示． 口诀概括为：一全正、二正弦、三全负、四余弦． 微提醒 例3 判断下列各式的符号： (1)sin(－670°)cos 1 230°；　 因为－670°＝－2×360°＋50°，所以－670°是第一象限角，则sin(－670°)>0. 又1 230°＝3×360°＋150°，所以1 230°是第二象限角，则cos 1 230°<0. 所以sin(－670°)cos 1 230°<0. (2)sin 8·cos 8. 所以sin 8·cos 8<0. 判断角的终边所在象限的相关结论 1．若正弦函数值为正，则角的终边在第一或第二象限或y轴的正半轴上；若正弦函数值为负，则角的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上． 2．若余弦函数值为正，则角的终边在第一或第四象限或x轴的正半轴上；若余弦函数值为负，则角的终边在第二或第三象限或x轴的负半轴上． 方法技巧 即时练4.(2023·广东省广州市期末)若sin α＋