第一章 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 　 第 一 章 §4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 学习目标 1.借助单位圆理解正弦、余弦函数的关系．　 2.掌握任意角的正弦、余弦的定义． 课 时 精 练 知识点二　任意角的终边上任一点的正弦函数、余弦函数的定义 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　任意角的正弦函数和余弦函数 内 容 索 引 知识点一　任意角的正弦函数和余弦函数 索引 问题导思 如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(u，v)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦的定义，能否用点P的坐标表示sin α，cos α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ 提示：当α为锐角时，cos α＝u，sin α＝v，这一结论能推广到α为任意角的情形． 新知形成 1．单位圆中锐角的正弦函数、余弦函数的定义 v u 由此可知，对于锐角α来说，点P的纵坐标v是该角的正弦值，点P的横坐标u是该角的余弦值． sin α cos α 2．单位圆中的任意角的正弦函数和余弦函数的定义 给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的．仿照上述锐角三角函数的定义，把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，把点P的横坐标u叫作角α的余弦值，于是，在弧度意义下，对于α∈R，称v＝sin α为任意角α的正弦函数，u＝cos α为任意角α的余弦函数． 例1 在平面直角坐标系的单位圆中，α＝ (1)画出角α； (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值． 三角函数定义的应用 1．首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解． 2．在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，应分两种情况处理． 方法技巧 索引 √ 知识点二　任意角的终边上任一点的正 弦函数、余弦函数的定义 索引 问题导思 已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，如何求sin α，cos α？ 提示：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情形． 如图，设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标为(cos α，sin α)，且OP＝1. 当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立． 新知形成 1．任意角的终边上任一点的正弦和余弦函数的定义 (1)对任意一个给定的角α，它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆只有唯一的交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的． (2)根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到sin2α＋cos2α＝1. 微提醒 2．特殊角的正弦函数值、余弦函数值 0 1 1 0 0 －1 0 －1 0 1 例2 √ √ 变式探究 已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 1．在角α的终边上任选一点P(x，y)，求出点P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝ ，cos α＝ . 2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，注意要根据条件对参数符号进行讨论． 方法技巧 即时练2.已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边落在x轴的正半轴上，终边经过点A(4，y0)，其中y0≠0. 索引 综　合　应　用 索引 例3 求终边在已知直线上的角的三角函数值 方法技巧 索引 索引 √ √ √ √ 索引 课　时　精　练 索引 基础达标 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4．(多选)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(m，1－m)，若m>0，则下列各式的符号无法确定的是 A．sin α B．cos α C．sin α－cos α D．sin α＋cos α √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 －2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 6．在直角坐标系xOy中，若角α始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y＝2x(x≥0)，则sin α＝________． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 技能提升 8．已知角θ的终边上有一点P(－4a，3a)(a>0)，则2sin θ＋cos θ的值是 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1