第一章 3　弧度制-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

§3　弧度制 　 第一章　三角函数 学习目标 1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化．　 2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式． 课 时 精 练 知识点二　弧度与角度的换算 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　弧度概念 内 容 索 引 知识点一　弧度概念 索引 问题导思 请回答以下问题： 1．我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？ 提示：不能，比如30°2′11′′，这种表示不能与实数建立一一对应的关系，也不利于三角函数的求值．为了能把角和实数建立联系，形成了弧度制． 2．能否用线段的单位长度来建立角的度量单位，从而把几何度量都建立在一个共同的基础(长度的度量)上呢？ 提示：以角的顶点为圆心画单位圆(半径为单位长度1的圆)，用这个角在此圆上所对应的弧的长度来度量这个角． 新知形成 1．弧度制 我们规定：在单位圆中，把长度等于___的弧所对的________称为1弧度的角，其单位用符号_____表示，读作______(通常“弧度”或“rad”省略不写)．在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数．这种以______作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 2．一般地，弧度与实数一一对应．正角的弧度数是一个______，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是___． 3．角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么|α|＝ 1 圆心角 rad 弧度 弧度 正数 负数 0 角的正负由角的终边的旋转方向决定． 微提醒 例1 下列各命题中，真命题是 A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度等于半径的弧 C．1弧度是1°的弧与1°的角之和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确．故选D． √ 1.圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的． 2．任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． 方法技巧 索引 即时练1.下列说法正确的是 A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误．故选A． √ 知识点二　弧度与角度的换算 索引 问题导思 提示：因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系． 新知形成 1．常见角度与弧度互化公式 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝____ rad π rad＝_______ 1°＝______ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝______≈57°18′ π 180° 2.一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系 30° 60° 120° 270° π 2π (1)弧度单位rad可以省略． (2)角度制与弧度制是两种不同的度量角的方式，二者不能混用，如α＝k·360°＋ (k∈Z)，这种写法是错误的． 微提醒 例2 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： 方法技巧 √ √ √ 索引 综　合　应　用 索引 例4 扇形的弧长和面积的综合应用 (2023·江西赣州期末)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为L(α>0). (1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 由已知得，L＋2R＝20. 故当扇形的圆心角α为2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积为25. 扇形的弧长和面积的求解策略 1．记公式：面积公式：S＝ αR2，弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． 2．找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解． 方法技巧 即时练3.(2023·天津高一期末)已知扇形AOB的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB的周长为 √ 索引 即时练4.(2023·四川凉山期中)折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中