第一章 8　三角函数的简单应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

§8　三角函数的简单应用 　 第一章　三角函数 学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题．　 2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 随 堂 演 练 课 时 精 练 综 合 应 用 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 例1 应用一　三角函数模型在生活中的应用 我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了水车，水车是古代劳动人民发明的灌溉工具，体现了中华民族的创造力．如图是水车示意图，其半径为6 m，中心O距水面3 m，一水斗从水面处的点P0处出发，逆时针匀速旋转，80 s转动一周，经t秒后，水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h. (1)以O为坐标原点，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数； (2)此水斗经过多长时间后再次到达水面？ 在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时 间是多少？ 　　解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行： (1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论． (2)建立三角函数模型，将实际问题数学化． (3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解． (4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解． (5)将所得结论返回，转译成实际问题的答案． 方法技巧 即时练1.(2023·湖南怀化高一期末)如图，某公园摩天轮的半径为40 m，圆心O距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距离地面最近处． 应用二　三角函数模型在物理中的应用 例2 (1)画出它的图象； 列表： 描点画图： ①小球开始摆动(即t＝0)时，与平衡位置的距离为3 cm． ②小球摆动时离开平衡位置的最大位移是6 cm． ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)． (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t＝0)时，与平衡位置的距离是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大位移是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中读图、识图、用图是数形结合的有效途径． 方法技巧 √ 应用三　三角函数模型的拟合 例3 (1)根据表中近似数据画出散点图．观察散点图，从①y＝Asin(ωt＋φ)，②y＝Acos(ωt＋φ)＋b，③y＝－Asin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式； t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 根据表中近似数据画出散点图，如图所示： (2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全． 又因为5≤t≤18，则5≤t≤7或11≤t≤18， 所以这一天可以安排5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全． 处理数据拟合和预测问题的几个步骤 第一步：根据原始数据，绘出散点图； 第二步：通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； 第三步：根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 第四步：利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 方法技巧 即时练3. (2023·广西桂林期末)某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m时就是安全的． (1)若有以下几个函数模型：y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)，y＝Asin ωt＋K，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式； 函数y＝Asin ωt＋K可以更好地刻画y与t之间的对应关系， 当k＝0时，t∈(1，5)；当k＝1时，t∈[13，17]；所以t∈[1，5]或[13，17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16个小时． (2)如果船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？ 索引 索引 1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是 √ A．