第一章 5.2　余弦函数的图象与性质再认识-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

5.2　余弦函数的图象与性质再认识 　 第 一 章 §5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 学习目标 1.能利用正弦函数的图象或五点(画图)法画余弦函数的图象．　 2.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．　 3.借助图象理解余弦函数在[0，2π]上的性质． 课 时 精 练 知识点二　余弦函数的图象与性质再认识 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　余弦函数的图象 内 容 索 引 知识点一　余弦函数的图象 索引 问题导思 请回答以下问题： 1．类比函数y＝sin x，x∈[0，2π]的简图，你在作函数y＝cos x，x∈[0，2π]的简图应抓住哪些关键点？ 2．根据函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，你能想象函数y＝cos x，x∈R的图象吗？ 提示：将函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象． 新知形成 余弦函数的图象 根据余弦曲线的基本性质，描出(0，1)，_____，________，______，(2π，1)后，函数y＝cos x在区间x∈[0，2π]的图象就基本确定了(如图)．因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图．这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”． (π，－1) 例1 由五点作图法列表如下： 连线：用光滑曲线将描出的五个点顺次连接起来，就作出了函数大致图象，如图所示： “五点法”画函数图象的三个步骤 方法技巧 即时练1.利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0，2π]的x的区间是 ________________． 画出y＝cos x，x∈[0，2π]的图象如图所示： 列表： 描点连线，图象如下． 索引 知识点二　余弦函数的图象与性质再认识 索引 问题导思 请观察余弦函数y＝cos x的图象(如图)，你能进一步理解余弦函数的性质吗？ 新知形成 余弦函数的图象与性质 函数 性质 y＝cos x x∈[0，2π]时的图象 x∈R时的图象 定义域 ____ 周期 _____ R 2π [(2k－1)π，2kπ] [2kπ，(2k＋1)π] ymax＝1 ymin＝－1 [－1，1] (1)余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称作余弦曲线． (2)同正弦曲线一样，余弦曲线的对称轴过其最高点或最低点，对称中心是其与x轴的交点．注意不要混淆正、余弦曲线的对称轴和对称中心． 微提醒 例2-1 利用余弦函数的性质比较下列各组中两个三角函数值的大小： (2)cos 515°，cos 530°． cos 515°＝cos(360°＋155°)＝cos 155°，cos 530°＝cos(360°＋170°)＝cos 170°，因为y＝cos x在(0，π)上单调递减，且0°<155°<170°<180°， 所以cos 155°>cos 170°，即cos 515°>cos 530°． 例2-2 作出函数y＝－2cos x＋3在一个周期内的图象，并求函数的最大值及取得最大值时x的值． 列表如下： 描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3在一个周期内的图象： 由图可得，当x＝2kπ＋π，k∈Z时函数取得最大值，ymax＝5. 与余弦函数有关的大小比较和单调区间的求法 1．大小比较：对三角函数值cos α，cos β的大小比较问题，首先看α，β是否在函数y＝cos x的同一单调区间内．若在，则直接根据函数在此区间内的单调性比较大小；若不在，可运用诱导公式将α，β化为同一单调区间上的角，再进行大小比较． 2.求单调区间：求y＝acos x＋b的单调区间时，若a>0，则y＝acos x＋b与y＝cos x的单调性相同，若a<0，则y＝acos x＋b与y＝cos x的单调性相反．若函数是由y＝f (u)和u＝g(x)复合而成，则遵循“同增异减”的规律，即内外单调性相同则增，内外单调性相反则减． 方法技巧 即时练3.若a＝sin 47°，b＝cos 37°，c＝cos 47°，则a，b，c大小关系为 A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>b>a √ √ √ √ 索引 综　合　应　用 索引 例3 求下列函数的值域： (1)y＝－2cos x－1； 因为－1≤cos x≤1，所以－2≤－2cos x≤2，所以－3≤－2cos x－1≤1. 所以函数y＝－2cos x－1的值域为[－3，1]． 与余弦函数有关的函数值域的求法 令t＝cos x，因为x∈R，所以t∈[－1，1]．