解三角形 讲义-2024届高考数学一轮复习

课题：解三角形 知识点： 1．正弦定理 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B 2．余弦定理： ， ， ． 变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ 3．三角形面积公式 【注1】 1．已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． 2．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． 3．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 【注2】 1．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 【注3】 1．解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值． 典型例题 例1在中，内角的对边分别为， ，则 （ ） A． B． C． D． 例2已知的内角，，的对边分别为，，，且，若，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D． 例3设中，三个角对应的三边分别是，且成等比数列，则角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例4在中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 例5中，角，，的对边分别为，，，已知，，若，则等于 A． B． C． D． 例6在中，角对应的边分别为， ，则的面积为（ ） A． B． C． D． 例7在中，内角所对应的边分别为，若，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 例8已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（       ） A． B． C． D． 例9在中，，则的可能取值为（       ） A． B． C． D． 例10在中，内角的对边分别为，若，则（       ） A． B． C． D． 例11已知在中，，则等于（       ） A． B． C．或 D． 例12在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（       ） A． B． C． D．1 例13在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则________，__________． 例14在中，角的对边分别为，且面积为，则面积的最大值为_____． 例15在三角形中，，且角、、满足，三角形的面积的最大值为，则______． 例16在中，角的对边分别为，若角依次成等差数列，且，，则 ． 例17在中， 分别是角的对应边，若，则下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 例18在中，三内角，，的对边分别为，，且，，为的面积，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 例19在中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求． 举一反三 1．在中，角的对边分别为．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．中，角所对的边分别为．若，则边（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．各角的对应边分