4.1.1 实数指数幂及其运算（第1课时 有理数指数幂）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品教学课件 4.1.1 实数指数幂及其运算 （第1课时 有理数指数幂） 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 高一必修第二册（2019人教B版） ①学习目标 ②新知导入 ③新知探索 ④教材例题 ⑤课堂练习 ⑥课堂总结 ⑦作业布置 1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值.（重点） 2.理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算.（难点） 学习目标 新知导入 情景一：情境与问题 国家统计局有关数据显示, 我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长:2013年为221.59亿元, 2014年、2015年、2016年的年增长率分别为 . 你能根据这三个年增长率的数据,算出年平均增长率, 并以2013年的经费支出为基础,预测2017年及以后各年的经费支出吗? 为了解决前面情境中的问题, 我们需要对指数运算有更多的了解. 新知导入 情景二：类比平方根，立方根，当n为偶数时，一个正数a的n次方根有几个？当n为奇数时呢？ 提示　正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个. . 初中我们已经学习了整数指数幕的知识,例如 新知探索 知识点一：n次方根与根式 一般地,中的称为底数, 称为指数.整数指数幂运算的运算法则有： 另外,初中我们还学习了平方根和立方根: (1)如果,则称为的平方根(或二次方根)：时,有两个平方根,它们互为相反数,正的平方根记为, 负的平方根记为;当时,只有一个平方根,记为;当 时,在实数范围内没有平方根. 新知探索 知识点一：n次方根与根式 例如, .二次根式的运算法则有 (2)如果,则称为的立方根(或三次方根), 在实数范围内,任意实数有且只有一个立方根,记作. 例如, 新知探索 知识点一：n次方根与根式 尝试与发现： 类比二次方根和三次方根, 给出四次方根和五次方根的定义. 一般地,给定大于1的正整数和实数,如果存在实数 ,使得则称为的次方根. 新知探索 知识点一：n次方根与根式 例如,因为方程的实数解为3与-3,因此3与-3都是81的4次方根;因为, 而且只有一个实数解,所以32的5次方根为2. 根据方程解的情况不难看出: (1)0的任意正整数次方根均为0,记为. 新知探索 知识点一：n次方根与根式 (2)正数的偶数次方根有两个,它们互为相反数,其中正的方根称为的次算术根,记为,负的方根记为; 负数的偶数次方根在实数范围内不存在,即当且为偶数时, 在实数范围内没有意义. (3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为.而且正数的奇数次方根是一个正数,负数的奇数次方根是一个负数. 新知探索 知识点一：n次方根与根式 当有意义的时候,称为根式,称为根指数,称为被开方数. (3)注意,虽然我们不知道等的精确的小数形式(计算器和计算机上给出的值都是近似值),但是按照定义,我们知道的一些性质,比如等. 新知探索 知识点一：n次方根与根式 一般地,根式具有以下性质: (1). (2)当为奇数时,;当为偶数时,. 例如, 新知探索 知识点一：n次方根与根式 尝试与发现： 你能想出一个新的二次根式符号的表示方法,成为的特例, ，的特例吗? 新知探索 知识点二：分数指数幂与有理数指数幂的运算法则 现在来将整数指数幂运算推广到分数指数幕运算,也就是给出等的定义.同以前一样,我们希望推广后,有关的运算性质仍然能保持,比如在都是分数时仍然成立,因此,应该满足 这表示应该是5的平方根,但是5的平方根有两个,即和,为了方便起见,我们规定. 这样一来,尝试与发现中的问题也就解决了. 新知探索 知识点二：分数指数幂与有理数指数幂的运算法则 一般地,如果是正整数, 那么:当有意义时,规定 当没有意义时,称没有意义. 新知探索 知识点二：分数指数幂与有理数指数幂的运算法则 例如, 而没有意义,因为没有意义. 对于一般的正分数 ,也可作类似规定,即 新知探索 知识点二：分数指数幂与有理数指数幂的运算法则 但值得注意的是,这个式子在不是既约分数(即有大于1的公因数)时可能会有歧义.例如,是有意义的,而 是没有意义的.因此,以后如果没有特别说明,一般总认为分数指数幂中的指数都是既约分数. 负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似, 即若是正分数,有意义且时,规定. 新知探索 知识点二：分数指数幂与有理数指数幂的运算法则 现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幕(即有理数指数幕).一般情况下,当与都是有理数时,有运算法则: ， 注意： (1)分数指数幂与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化； (2)记忆有理指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相