4.5.3 函数模型的应用（教学课件）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用 第四章 指数函数与对数函数 问题1：常见的函数模型有哪些？ 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 新知1：函数模型 新知2：解答应用问题的基本思想和步骤 解应用题的基本思想 解答函数应用题的基本步骤 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求． 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果． 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景． 新知2：解答应用问题的基本思想和步骤 【例1】人口问题是当今世界各国普遍关注的问题认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R. Malthus，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型，其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率. （1）根据国家统计局网站分布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950-1959年期间的具体人口增长模型. （2）利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站分布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符. （3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？ 【解析】（1）由题意知，设1950-1959年期间我国人口的年平均增长率为，根据马尔萨斯人口增长模型，有， 由计算工具得. 因此我国在1950~1959年期间的人口增长模型为 ，. （2）分别取，2，…，8，由可得我国在1951-1958年间的各年末人口总数. 查阅国家统计局网站，得到我国1951-1958年各年末的实际人口总数，如表45-4所示. 根据1950-1959年我国人口总数的实际数据画出散点图， 并画出函数的图象， 由表和图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合. （3）将代入，由计算工具得. 所以，如果人口按照（1）中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已达到13亿. 典型例题 【例2】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报04元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 【解析】设第x天所得回报是y元，则 方案一可以用函数 进行描述； 方案二可以用函数进行描述； 方案三可以用函数进行描述. 三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数要对三个方案作出选择， 就要对它们的增长情况进行分析. 画出三个函数的图象 方案一的函数是常数函数， 方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同. 可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一方案二所无法企及的. 从每天所得回报看，在第1-3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元下面再看累计的回报数. 因此，投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以则应选择方案三. 典型例题 【例3】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表. （1）根据表格提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地 反映这个地区未成年男性体重与身高的函数关系？ 试写出这个函数模型的关系式. （2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦， 那么这个地区一名身高为，体重为的在校男生的体重是否正常？ 【解析】（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图， 根据点的分布特征，可考虑以作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型. 取其中的两组